前言

在学习高等代数之前，先对高等代数有一定的了解。高等代数研究的核心其实是其实是解方程，解多元一次方程以及解一元多次方程，再拓展到n元n次方程。这就是高等代数主要研究的内容。
书中前言这张图片对高等代数的概括非常好，研究的方向就是这两大线
- 研究解多元一次方程的问题引入了矩阵、向量、线性空间等线性代数相关的内容，在线性代数中最关键的其实是线性空间、线性映射
- 研究解一元多次方程的问题引入了群、环、域，最终形成了抽象代数这一门学科，而抽象代数的核心定理其实是伽罗瓦大定理

邱维声老先生的这本书的主线其实是：研究线性空间和多项式环的结构及其态射（线性映射，多项式环的通用性质），所以高等代数更多的是研究线性代数以及多项式环，而群和域这边是在抽象代数去研究。

线性方程组矩阵消元法

线性方程组与矩阵

线性方程：

像$a_{1}x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=b_1$这样，左端都是未知量$x_1,x_2,…,x_n$的一个齐次式，右端是常数被称为线性方程。

系数：每个未知量前面的数称为系数

常数项：右端的项被称为常数项

线性方程组：

两个及以上的线性方程组合，就被称为线性方程组，含n个未知量的线性方程组被称为n元线性方程组，它的一般形式如下：

$a_{11},a_{12},…,a_{sn}$是系数

$b_1,b_2,…,b_n$是常数项，一般写在等号右边

方程个数为s与未知量个数n可以相等，也可以是s<n或者s>n的关系

将$x_1,x_2,…,x_n$代入$c_1,c_2,…,c_n$后，每个方程都变成恒等式，那么这n元有序数组$(c_1,c_2,…,c_n)$是线性方程组的一组解，方程组的所有解组成的几何称为这个方程组的解集。

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n &= b_1 \
a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n &= b_2\
a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n&=b_s
\end{cases}
$$

矩阵：由于解方程都是对系数和常数项操作并没有改变未知数，所以为了方便就引入了一个数表即矩阵，将方程组的未知数前面的系数和常数项提取出来。写成如下形式：
$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_{1} \
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_{2} \
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots \
a_{s1} & a_{s2} & \dots & a_{sn} & b_{s}
\end{bmatrix}
$$
系数矩阵：只提取方程组的系数做为一个矩阵，这样的矩阵叫做系数矩阵
$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \
a_{s1} & a_{s2} & \dots & a_{sn}
\end{bmatrix}
$$
增广矩阵：提取方程组的系数和常数项做为一个矩阵，这样的矩阵叫做增广矩阵
$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_{1} \
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_{2} \
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots \
a_{s1} & a_{s2} & \dots & a_{sn} & b_{s}
\end{bmatrix}
$$
矩阵的定义：

由s·m个数排成s行、m列的一张表称为一个s×m矩阵，其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素，第i行与第j列交叉位置的元素称为矩阵的(s,j)元。

注解1：矩阵通常用大写英文字母$\mathbf{A,B,C,…}$表示。一个s×m矩阵可以简单地记作$\mathbf{A}{s×m}$，它的(i,j)元记作$\mathbf{A}(i;j)$，如果矩阵$\mathbf{A}$的(i,j)元是$a{ij}$，那么可以记作$\mathbf{A}=(a_{ij})$

注解2：元素全为0的矩阵称为零矩阵，简记作$\mathbf{0}$。s行m列的零矩阵可以记成$\mathbf{0}_{s×m}$

注解3：如果一个矩阵$\mathbf{A}$的行数与列数相等，则称它为方阵。m行n列的方阵也称为m级矩阵

注解4：对于两个矩阵$\mathbf{A,B}$，如果它们的行数相等，都等于s；列数相等，都等于m；并且$\mathbf{A}(i;j)=\mathbf{B}(i;j),i=1,2,…,s,~~~j=1,2,…,m$，那么称矩阵$\mathbf{A,B}$相等，记作$\mathbf{A=B}$

例题1：解方程组
$$
\begin{cases}
x_1+3x_2+x_3&=2\
3x_1+4x_2+2x_3&=9\
-x_1-5x_2+4x_4&=10\
2x_1+7x_2+x_3&=10
\end{cases}
$$

先使用2式+1式·(-3)、3式+1式、4式+1式·(-2)，消去2、3、4式的$x_1$，然后交换2式和4式的位置
再使用3式+2式·2、4式+2式·5，以及4式+3式·2得到了一个阶梯型方程组

$$
\begin{cases}
x_1+3x_2+x_3&=2\

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_3&=6\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0&=0
\end{cases}
$$

3. 最后使用$3式·\frac{1}3{}$、`1式+3式·(-1)`、`2式+3式`、`1式+2式·(-3)`就可以得到**简化阶梯形方程组**，并且可以看出该方程组的解为$(3,-1,2)'$

$$
\begin{cases}
x_1~~~~&=3\\
~~~~~~x_2&=1\\
~~~~~~~~~~~~~x_3&=2\\
~~~~~~~~~~~~~~0&=0
\end{cases}
$$

## 线性方程组求解与矩阵化简

>**线性方程组的初等变换**：
>
>1. 把一个方程的倍数加到另一个方程上
>2. 互换两个方程的位置
>3. 用一个非零数称某一个方程
>
>注解：通过线性方程组初等变换后的方程组的解与原方程组相同，所以使用有限次数的线性方程组的初等变换就可以求出n元线性方程组的解。



>**矩阵的初等行变换**：
>
>由于矩阵是线性方程组抽象出来的，所以线性方程组的初等变换运用到矩阵就是矩阵的初等行变换
>
>1. 把一行的倍数加到另一行上
>2. 互换两行的位置
>3. 用一个非零数乘某一行
>
>
>
>**矩阵的行阶梯**：
>
>阶梯型方程组转换成矩阵形式，就变成了**矩阵的行阶梯**，有以下几个特征：
>
>1. 元素全为`0`的行（称为**零行**）在下方(如果有零行)；
>2. 元素不全为`0`的行（称为**非零行**），从左边数起第一个不为0的元素称为**主元**，它们的列指标随着行指标的递增而**严格增大**。即行指标增大`1`，列指标也需要增大`1`而不是增大`2`
>
>$$
>\begin{bmatrix}
>1&3&1&2\\
>0&1&-1&-3\\
>0&0&3&6\\
>0&0&0&0
>\end{bmatrix}
>$$
>
>
>
>**简化行阶梯形矩阵**：
>
>简化阶梯形方程组抽象成矩阵形式就变成了简化行阶梯形矩阵，特点如下：
>
>1. 它阶梯形矩阵
>2. 每个非零行的主元都是1
>3. 每个主元所在的列的其余元素都是0
>
>$$
>\begin{bmatrix}
>1&0&0&3\\
>0&1&0&-1\\
>0&0&1&2\\
>0&0&0&0
>\end{bmatrix}
>$$
>
>**定理1**：
>
>任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成**阶梯型矩阵**
>
>
>
>**推理1**：
>
>任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成**简化行阶梯形矩阵**
>
>
>
>**矩阵解线性方程组**：
>
>将方程组转换为增广矩阵后，通过初等行变换化成**阶梯型矩阵**，再化成**简化行阶梯形矩阵**就是解线性方程组。



>例题2：使用矩阵解方程组
>$$
>\begin{cases}
>x_1+3x_2+x_3&=2\\
>3x_1+4x_2+2x_3&=9\\
>-x_1-5x_2+4x_4&=10\\
>2x_1+7x_2+x_3&=10
>\end{cases}
>$$

![image-20250825144013357](高等代数-线性方程组/image-20250825144013357.png)

# 线性方程组解的情况与判别

>**线性方程组解的情况**：
>
>系数和常数项为有理数（或实数，或复数）的n元线性方程组的解的情况有且只有三种可能：无解，有唯一解，有无穷多个解。
>
>注解：如果一个线性方程组有解，那么称它是**相容的**；否则，称它是**不相容的**
>
>
>
>**线性方程组解的判别**：
>
>把n元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯型方程组出现`0=d(其中d是非零数)`，这种方程，那么原方程无解；否则，有解。
>
>当有解的时候，如果阶梯形矩阵的非零行数目`r`等于未知量数目`n`，那么原方程组有唯一解，如果`r<n`那么原方程有无穷多个解。
>
>注解：当原方程有无穷多个解的时候，简化的行阶梯形矩阵就会出现如下形式
>$$
>\begin{bmatrix}
>1&-1&0&2\\
>0&0&1&-1\\
>0&0&0&0
>\end{bmatrix}
>$$
>转换成线性方程组后就如下：
>$$
>\begin{cases}
>x_1-x_2&=2\\
>x_3&=1\\
>0&=0
>\end{cases}
>$$
>之后化简就如下,下面表达式其实就是原线性方程组的**一般解**，其中行阶梯矩阵对应的主元为系数的未知量$x_1,x_3$称为**主变量**，其余未知量$x_2$称为**自由未知量**：
>$$
>\begin{cases}
>x_1&=x_2+2\\
>x_3&=1\\
>0&=0
>\end{cases}
>$$
>
>
>
>
>**齐次线性方程组**：
>
>常数项全为0的线性方程组称为**齐次线性方程组**。`(0,0,...,0)`是齐次线性方程组的一个解，称为**零解**。其余的解（如果有）称为**非零解**。该方程如下图所示，由于常数项全为`0`，所以在将其转换为矩阵的求解时，只需要使用**系数矩阵**即可：
>$$
>\begin{cases}
>a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n &= 0 \\
>a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &= 0\\
>~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots&~~~~~~\vdots\\
>a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n&=0
>\end{cases}
>$$
>**推论1**：n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的数目`r<n`
>
>**推论2**：n元齐次线性方程组，如果方程组的数目s小于未知量的数目n，那么它一定有非零解。



>**高斯-若尔当算法**：
>
>![image-20250826131015073](高等代数-线性方程组/image-20250826131015073.png)
>
>

# 数域

>**定义1**：
>
>复数集的一个子集K如果满足，那么就称K是一个**数域**，有理数集`Q`，实数集`R`，复数集`C`都是数域：
>
>1. $0,1\in K$
>2. $a,b\in K \Rightarrow a\pm b,ab\in K$，$a,b\in K,b\not=0 \Rightarrow \frac{a}{b}\in K$
>
>注解1：复数域是最大的数域。在讨论线性方程组有没有解时，都是在一个给定的数域K里讨论，称`数域K上的线性方程组`，即它的系数和常数项都属于K，且它的解（若存在）是K中的数组成的有序数组。
>
>注解2：讨论矩阵问题时，也是在一个给定的数域K里进行，称`数域K上的矩阵`。
>
>
>
>**命题1**：
>
>任一数域都包含有理数域

# 补充题(未完成)

+ 补充题想了有点久暂时不想，先鸽这边。有灵感就马上写了。

1. 解下列线性方程组。

$$
\begin{cases}
(1+a_1)x_1+x_2+x_3+...+x_n&=b_1\\
x_1+(1+a_2)x_2+x_3+...+x_n&=b_2\\
\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots&\dots\\
x_1+x_2+x_3+...+(1+a_n)x_n&=b_n
\end{cases}
$$

2. 解下列线性方程组

$$
\begin{cases}
x_1+2x_2+3x_3+...+(n-1)x_{n-1}+nx_n&=b_1\\
nx_1+x_2+2x_3+...+(n-2)x_{n-1}+(n-1)x_n&=b_2\\
\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~~~\dots\\
2x_1+3x_2+4x_3+...+nx_{n-1}+x_n&=b_n
\end{cases}
$$



3. 解下列方程组

$$
\begin{cases}
x_1+x_2+...+x_n&=1\\
~~~~~~~~~x_2+...+x_{n}+x_{n+1}&=2\\
~~~~~~~~~~~~~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~\dots~~~~~\dots\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{n+1}+x_{n+2}+...+x_{2n}&=n+1
\end{cases}
$$