关于抽象代数

  • 抽象代数算是距离现在年代比较近产生的数学理论，并且在数学和计算机以及密码学这块是非常重要的。所以学好抽象代数很重要。

  • 学习抽象代数，其最核心的定理是Galois大定理：一个特征为0的域F上的n次方程在F上根式可解当前仅当它在F上的Galois群是可解群。

  • 从核心定理其实就可以知道抽象代数围绕的问题是n次方程根式可解这一问题。

  • 学习抽象代数的很多内容其实都是在为Galois大定理的理解和证明做铺垫，在理解Galois大定理的时候就需要理解如下的知识，并且在证明它的时候需要用到很多定理，这些知识和定理其实就占了抽象代数的一大半：

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对于理解该大定理首先要理解：域、域的特征、Galois群、可解群、根式可解。而需要理解这些还需要一定的前置知识
域 
域的特征
Galois群	--> 群 --> 自同构
可解群--> 正规子群 
根式可解--> 根式扩张 --> 域扩张

抽象代数极简史

  • 前期：1760年之前
    • 小于等于四次方程的解法，从2、3、4次方程都有求根公式，这样就产生了一个问题，5次及以上的方程是否也有求根公式
    • 根于系数的关系，韦达定理，一般方程的根与系数关系是有Girard证明
    • 利莫佛公式与n次单位根
    • 代数学基本定理，Girard证明了根的存在定理。即：复数域上任何一个非0次多项式，一定有根并且根都在复数域中，并且在数重数的意义下根的个数与次数相同。
  • 中期：1760~1798年之间
    • Bézout：用n次单位根表示n次方程的根
    • Lagnage(拉格朗日)：考察了小于等于4的各种解法，总结了这些解法的特点；考察这些解法为什么会产生根，从而提出了造根原理。
    • Vander monde(范德蒙)：把根表示成根的对称表达式x1,2=12[(x1+x2)±(x1+x2)2−4x1x2]x_{1,2}=\frac{1}{2}[(x_1+x_2)\pm\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}]，对根的置换也进行了大量的计算，根重要的是范德蒙求出了11次单位根的根式表达式。
    • Gauss(高斯)：建立了分圆理论，证明了一般的n次单位根的根式表示
  • 后期：1799~1829年
    • Ruffini：第一次证明了大于等于5次一般方程没有求根公式，但是该证明存在漏洞，并且该证明有500多页。
    • Abel(阿贝尔)：独立与Ruffini第一个完整证明大于等于5次的一般方程没有求根公式(1824年)；
    • Abel：当特征为0的域F上的多项式是Galois群是交换群时这个方程一定可以根式解。
  • 产生：1830~1832年
    • Galois：提出了Galois大定理。

抽象代数简史

  • 抽象代数的简史分为前期、中期、后期以及产生。先来了解一下抽象代数的历史会更有助于理解和学习抽象代数。

前期

求根公式

小于等于4次方程的原始解法。

  • 一次ax+b=0,a≠0ax+b=0,a≠0，除首项系数：x+ba=0x+\frac{b}{a}=0，移项得到：x=−bax=-\frac{b}{a}

  • 二次ax2+bx+c=0,a≠0ax^2+bx+c=0,a≠0：

    • 除首项系数：x2+bax+ca=0x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
    • 配方：(x+b2a)2−b24a2+ca=0(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0
    • 移项：(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
    • 开方：x+b2a=±b2−4ac2ax+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

  • 三次ax3+bx2+cx+d=0,a≠0ax^3+bx^2+cx+d=0,a≠0，Girard等解法：

    • 同样是除首项系数，那其实就直接设a=1，即方程x3+bx2+cx+d=0x^3+bx^2+cx+d=0
    • 变换x=y−b3x=y-\frac{b}{3}：带入可以消二次项系数，即y3+py+q=0y^3+py+q=0
    • 增加变量令y=u+v代入：u3+v3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0部分因式分解可得u3+v3+(u+v)(3uv+p)+q=0u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)+q=0
    • 令3uv+p=03uv+p=0，从而化简方程：u3+v3+q=0u^3+v^3+q=0，这样利用3uv+p=03uv+p=0可以解出v=−p3uv=-\frac{p}{3u}，带入方程可以得到u3+(−p3u)3+q=0u^3+(-\frac{p}{3u})^3+q=0，化简得u6+qu3−(p3)3=0u^6+qu^3-(\frac{p}{3})^3=0是关于u3u^3的一个二次方程
    • 利用求根公式可以得到u3=−q2±(q2)2+(p3)3u^3=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}
    • 从而可以得到x=u+v−b3,(a=1)x=u+v-\frac{b}{3},(a=1)

  • 四次方程，Ferrari解法x4+ax3+bx2+cx+d=0x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0

    • 用变换x=y−a4x=y-\frac{a}{4}消三次项系数得到y4+py2+qy+r=0y^4+py^2+qy+r=0
    • 配方：(y2+p2)2=p24−qy−r(y^2+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-qy-r
    • 增加变量，在配方左边的式子增加变量：(y2+p2+u)=p24−qy−r+u2+2uy2+pu(y^2+\frac{p}{2}+u)=\frac{p^2}{4}-qy-r+u^2+2uy^2+pu
    • 增加了变量，有了自由度，选取一个u将右边凑平方，右边通过将y作为主元，得到y的二次方程令Δ=q2−8u(p24−r+u2+pu)=0\Delta=q^2-8u(\frac{p^2}{4}-r+u^2+pu)=0得到关于u的3次方程，由于三次方程已经有求根公式，这样可以根式解出u
    • 从而第三步所得方程就可以变成(y2+p2+u)2=2u(y2−q2uy+(q4u)2)(y^2+\frac{p}{2}+u)^2=2u(y^2-\frac{q}{2u}y+(\frac{q}{4u})^2)，从而可以得到y2+p2+u=±2u(y−q4u)y^2+\frac{p}{2}+u=\pm\sqrt{2u}(y-\frac{q}{4u})
    • 转化为关于y的的二次方程，可以根式解出y

小于等于4次方程的其他解法（都考虑首项系数为1）

  • Viete(韦达)的三次方程解法：x3+px+q=0x^3+px+q=0：

    • 令x=p3y−yx=\frac{p}{3y}-y，带入可以得到y6−qy3−(p3)3=0y^6-qy^3-(\frac{p}{3})^3=0
    • 解出y3=q2±(q2)2+(p3)3y^3=\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}

  • Descarte(笛卡尔)的四次方程解法：x4+px2+qx+r=0x^4+px^2+qx+r=0

    • 分解：x4+px2+qx+r=(x2+kx+u)(x2−kx+v)x^4+px^2+qx+r=(x^2+kx+u)(x^2-kx+v)
    • 这样直接乘开得到x4+px2+qx+r=x4+(u+v−k2)x2+k(u−v)x+uv=0x^4+px^2+qx+r=x^4+(u+v-k^2)x^2+k(u-v)x+uv=0
    • 这样直接用待定系数法：p=u+v−k2p=u+v-k^2，q=k(u−v)q=k(u-v)，r=uvr=uv，联立解得u=12(k2+p−qk)u=\frac{1}{2}(k^2+p-\frac{q}{k})，v=12(k2+p+qk)v=\frac{1}{2}(k^2+p+\frac{q}{k})

  • Tschirnhaus(契恩豪斯解法)解一般的n次方程：xn+an−1xn−1+...+a1x+a0=0x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0

    • 令y=xn−1+bnxn−2+...+b1x+b0y=x^{n-1}+b_nx^{n-2}+...+b_1x+b_0，这样就可以消掉x得到关于y的一个n次方程：yn+cn−1yn−1+...+c1y+c0=0y^n+c_{n-1}y^{n-1}+...+c_1y+c_0=0
    • 取非常好的bib_i使得cn−1=...=c1=0c_{n-1}=...=c_1=0，从而yn+c0=0y^n+c_0=0于是y=−c0ny=-\sqrt[n]{c_0}，契恩豪斯断言其解法对一般的n成立，其只测试了n=3
    • 事实上n-1个方程能决定n-1个变量，但由Bézout的消去理论，一般要解一个(n-1)!次的方程

棣莫弗公式

  • e Moivre公式与n次单位根：(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)(cos\theta+isin\theta)^n=cos(n\theta)+isin(n\theta)，即欧拉公式(eiθ)n=ei(nθ)(e^{i\theta})^n=e^{i(n\theta)}

  • 利用棣莫弗公式就可以解方程：zn=1=cosθ+isinθz^n=1=cos\theta+isin\theta，可以得到θ=2kπn,ωk=cos(2kn)+isin(2kπn),k=0,1,...n−1\theta=\frac{2k\pi}{n},\omega_k=cos(\frac{2k}{n})+isin(\frac{2k\pi}{n}),k=0,1,...n-1，这里称zn−1=0z^n-1=0的解为n次单位根

  • n次单位根的根式表示：使用棣莫弗公式就可以将n次单位根的根式表示化为n是素数时，zn−1=Πk=0n−1(z−wk)z^n-1=\Pi^{n-1}_{k=0}(z-w_k)

  • 根与系数的关系，并且衍生出对称多项式：

    • Viete(韦达)：强调方程的结构即根与系数的关系，并且证明了二次、三次方程的根与系数的关系
    • Girard(吉拉德)：证明了n次方程的根与系数的关系zn+a1zn−1+...+an−1z+a0=0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_0=0的n个根满足

    s1=x1+x2+...+xn=−a1s2=x1x2+x1x3+...+xn−1xn=a2....sn=x1x2...xn=(−1)nans1 = x_1+x_2+...+x_n=-a_1\\ s2 = x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n=a_2\\ ....\\ s_n = x_1x_2...x_n = (-1)^{n}a_n

    • Girard开始研究对称多项式，三元对称多项式x12+x22+x32x^2_1+x^2_2+x^2_3，之后又有牛顿等人，设s1、s2、...、sns1、s_2、...、s_n的为x1、x2、...、xnx_1、x_2、...、x_n的初等对称多项式
    • Vander monde(范德蒙)证明了对称多项式定理，一个域F上关于n个不定元x1、x2、....、xnx_1、x_2、....、x_n的多项式f可以表示成s1、s2、....、sns_1、s_2、....、s_n的多项式当前仅当f关于x1、x2、...、xnx_1、x_2、...、x_n的置换不变。即f(x1,x2,x3)=f(x2,x1,x3)f(x_1,x_2,x_3)=f(x_2,x_1,x_3)

代数学基本定理

  • Girard根的存在定理：域F上的一个n次多项式(n≥1)的多项式p(x)在F的某个扩域K上可以分解成p(x)=a(x−a1)...(x−an),a,a1,...an∈Kp(x)=a(x-a_1)...(x-a_n),a,a_1,...a_n\in K

  • 代数学基本定理：复数域C是代数封闭的，即C上的任何非0多项式的根均在C中，而且在计重数的意义下方程的根的个数等于方程的次数。

    • 该定理的第一个证明是由d'Alembert给出的，但是他没有证明根的个数等于方程的次数，第一个完整的证明是Gaauss给出的
    • 欧拉尝试代数的证明，而Fonceneux进行改进，最后拉格朗日给出第一个严格的证明

中期

四个具有代表性的人的工作。

Bezout

  • Bezout用n次单位根表几次方程的根。

    • 消去方程的中间变量y，可以得到关于x的一个n次方程Rn(x)=0R_n(x)=0，且Rn(x)R_n(x)的系数可以用a0,....,an−1a_0,....,a_{n-1}表示出来。：

      \begin{equation} \begin{cases} x = a_0 + a_1y + ... +a_{n-1}y^{n-1} \\ y^n = 1 \end{cases} \end{equation}

    • Rn(x)=0R_n(x)=0的根，当y=ωky=\omega_k是一个n次单位根时，有wk=e2kπinw_k=e^{\frac{2k\pi i}{n}}，能找到xk=a0+a1wk+...+an−1wkn−1x_k = a_0+a_1w_k+...+a_{n-1}w_k^{n-1}是Rn(x)=0R_n(x)=0的根。得到Rn(x)=Πk=0n−1(x−xk)R_n(x)=\Pi^{n-1}_{k=0}(x-x_k)

    • 解n次方程P(x)=0P(x)=0：找合适的a0,a1,...,an−1a_0,a_1,...,a_{n-1}，使得Rn(x)=P(x)R_n(x)=P(x)，从而P(x)P(x)的根为x1,...,xnx_1,...,x_n，其中xn=a0+a1ωk+..+an−1ωkn−1x_n=a_0+a_1\omega_k+..+a_{n-1}\omega_k^{n-1}

    • 注意：Bezout只证明了n=2,3,4的情况

Lagrange

  • Lagrange划时代的工作：

    1. 回顾总结了前面n≤4n≤4次方程的解法。共同点：通过一个巧妙的变换化为一个地刺的辅助方程

    2. 探求这些解法产生根的机制，本质上要把辅助方程的根表为原方程的根的有理函数，还发现了造根原理，相对的造根原理。

    3. 提出了Lagrange预解式。

  • Lagrange的深思：

    1. 在造根原理的促进下，发现了群论和Galois理论的早期结果。
    2. 研究Lagrange预解式的性质并设计了用来根式解方程的方案。
    3. 一般的n≥5次方程可能没有求根公式。

Vander monde

  • 把根用根的对称函数表示比如：二次方程：x1,2=12[(x+n)±(x1+x2)2−4x1x2]x_{1,2}=\frac{1}{2}[(x+n)\pm\sqrt(x_1+x_2)^{2}-4x_1x_2]

  • 设计方案如下：

    • 找到一个根的函数是我们一般意义上的根。（已经证明了）
    • 根的函数关于根的置换是对称的。（只证明了n=2,3,4）
    • 带入根的和，以及两两乘积的和（方程的系数）根的函数就是方程的根。

  • 对根的置换进行了大量的计算。

  • 提出了Vander monde预解式。

  • 11次单位根用根式表示

  • 为了解一个方程的结构，只需考察那些保持根的关系的置换

Gauss

Gauss主要是分圆理论。

  • n次单位根的根式表示：在Vander monde的基础上引入了循环置换，以及根之间的关系
  • 正n边形的尺规作图问题：正n边形可以用尺规作出来当且仅当n的素因子只能是2或者Fermat素数。注：形为2m+12^m+1数如果是素数，那么则称该素数为Fermat素数。
  • 高斯的这一套理论适用预其他的超越函数类。

后期与产生