群论

• 群、环、域，这三个都是近世代数的一些概念，而近世代数也被称为抽象代数。
• 近世代数所研究的对象是代数系。对于整数加法运算，整数乘法运算、矩阵运算等，都是在研究某一特定集合的特定运算。
• 而近世代数，就是将这些原本抽象的运算，再进一步的抽象出来，探究他们共同的运算性质和规律。
  • 整数加法：满足加法结合律、有逆元、有单位元。
  • 矩阵运算：特定集合下满足矩阵乘法、有单位矩阵、有逆矩阵
  • 近世代数将这些进行进一步抽象，得到了群、环、域（虽然矩阵乘法是半群）
• 接下来就来介绍一下群

群的定义

定义1：排列（也被称为置换permutation）

给定集合$X$，$X$到$X$自身的一个双射称为一个排列。

给定集合$X$到$X$自身全体排列的集合记作$S_n$。

注解：置换本质上是一个函数，一般使用$\pi、\sigma$

定义2：群的定义

一个群是一个三元组$(G,\circ,e)$，其中$G$ 是一个集合。

• 对于$\circ$：$G×G\rightarrow G$，是一个二元运算（这个运算中隐含了封闭性）
• 对于$e\in G$：是一个特殊元素称作单位。
• 满足如下运算（公理），则$(G,\circ,e)$就被称为一个群：
  • （单位）$\forall a \in G$，$ae=ea=a$
  • （逆元）$\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G，a^{-1}a=aa^{-1}=e$
  • （结合）$(a·b)·c=a·(b·c)$

注解1：群是一个结构，这个结构=集合+运算+公理

注解2：群的公理可修改（增加、减少、改变条件）

注解3：群存在变体，比如数据只有$(G,\circ)$，然后再加上群定义中的结合公理，则称$G$是一个半群。

注解4：再介绍一个群的变体，有一个三元组$(G,\circ,e)$，它没有逆元公理，此时该群称为幺半群(Monoid)

注解5：前面的变体都是减少条件，而阿贝尔群(Abel)则是增加条件，增加了一个公理交换律，即$\forall a,b,~~~ a·b=b·a$，

例子1：

对于三元组$(\Z,+,0)$，即整数集合上的加法运算，单位元是0。该三元组是一个阿贝尔群

例子2：

对于三元组$(\Z/m,+,0)$，即整数集合上模m的加法运算，单位元是0，该三元组也是一个阿贝尔群

例子3：

对于三元组$(\R,+,0)$、$(\Q,+,0)$、$(\C,+,0)$，即在实数、有理数、复数上的加法运算，也构成阿贝尔群。

例子4：

对于三元组$(\C^{×},×,1)$，这里$C^{×}$指的是乘法可逆元，目前可以理解为$\C-{0}$即一个复数集去掉元素0，也构成阿贝尔群。

例子5：

对于三元组$(\R_{>0},×,1)$也构成一个阿贝尔群

例子6：

存在许多非阿贝尔群，$(Sn,\circ,e)$，$e=Id{X_n}$，也就是定集合$X$到$X$自身全体排列的集合，当$n≥3$时就不是阿贝尔群。

例子7：

对于三元组$(GL_n(F),\circ,I_n)$，也就是在数域F中$n×n,n≥2$的可逆矩阵，满足某个代数运算，单位元为$I_n$，该三元组构成一个非阿贝尔群。数域F如何定义，这里不多说，可以看看丘维声高代的第一章。

简单给一下$GL_n(F)$的定义，$M_n(F)$表示所有$n×n$的矩阵，元素来自域$F$：

$$GL_n(F)=\{A∈M_n(F)∣det(A)≠0\}$$

群的定义

• 群中的最基本的概念就是这些，之后再由这些最基础的，才引申出对称群、四元数群、二面体群等等。
• 所以先要来介绍一下最基本的群概念

群和半群

• 群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。
• 首先明确一点：群是建立在集合之上的，满足一定运算条件的集合才会被称为群。
• 其次再注意：群定义中的乘法运算并不是我们常用的乘法运算，它只是运算的一个代表，了解了群之后我们根据定义可以得到整数加法（运算符为：+）构成一个群，此时乘法符号：（·）就会变成加法符号了。具体再深入理解即可。
• 这里先来介绍半群的概念

半群的定义：

设G是一个非空集合，若在G上定义一个乘法运算·满足以下四个条件，则G被称为群。

1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c

• 接下来再引出群的概念

群的定义：

设G是一个非空集合，若在G上定义一个乘法运算·满足以下四个条件，则G被称为群。

1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c
3. 单位元：在G中有一个元素e（左单位元），对于G中任意元素a，有e·a=a
4. 逆元：对于G中任意元素a都存在G中的一个元素b（左逆元），有b·a=e

• 通常群的这种代数结构，我们用(G,·)这种形式来表示，G是一个集合，·是一个运算符
  • 比如整数加法群：（Z，+）
  • 去零整数乘法群：（Z/{0}，·）

其他群

• 群和半群是群中俩个最基本的概念，还有一些群接下来再来说明一下

• 如果半群中存在单位元，则就被称为含幺（yao）半群(monoid)

含幺半群的定义：

1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c
3. 单位元：在G中有一个元素e（左单位元），对于G中任意元素a，有e·a=a

• 而阿贝尔群则是在群的定义上多出了交换律

设G是一个非空集合，若在G上定义一个乘法运算·满足以下四个条件，则G被称为群。

1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c
3. 单位元：在G中有一个元素e（左单位元），对于G中任意元素a，有e·a=a
4. 逆元：对于G中任意元素a都存在G中的一个元素b（左逆元），有b·a=e
5. 交换律：对任何a，b∈G有a·b=b·a

• 这里也顺带提一下有限群和无限群：
  • 有限群：群G如果是有限集，那么就被称为有限群。
  • 无限群：群G如果是无限集，那么就被称为无限群。

阶段习题1

• 近世代数这部分还是比较偏抽象，逻辑性高的，所以里面的题目都是证明题为主。而了解了群的定义后基本上就是根据定义去证明某个集合加运算是不是群或者半群。包括接下来学的群的定义也一样是证明群。

• 这里找几题书上的例题和练习证明（学习过程中最好是先看看概念和例题，然后动手写纸上证明，要是不闲麻烦可以将证明再写到博客上，或者直接截图。）

群的性质

单位元和逆元的性质

• 对于单位元，单位元被分为左单位元和右单位元

左、右单位元：

设是一个半群（G，·）

左单位元

$$若有元素e_L使对任何a∈G有，e_L·a=a，则e_L叫做左单位元$$

右单位元

$$若有元素e_R使对任何a∈G有，e_R·a=a，则e_R叫做右单位元$$

群的性质

群的同态和同构

前置知识

同态与同构

• 前置知识基本上就是高数第一章所学的集合和映射。
• 接下来就介绍一下同态和同构，同态和同构这俩个概念还是比较抽象的，需要借助俩个例子进行理解。

同态的定义：

$$\begin{array}{l} 设代数系统(A,·)和代数系统(B,\odot),\\如果存在映射f,把A中的元素映射到B中，并且对于任意a、b∈A，都有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(a·b)=f(a)\odot f(b)\\ 那么这个映射属于同态映射(同态可以理解为同样形态)。 \end{array}$$

同构的定义：

$$\begin{array}{l} 如果同态映射还是一一映射，则称为同构映射。 \end{array}$$

• 对于单纯看同态和同构的定义，确实比较难以理解，所以这边就举俩个例子。
• 例1：对于高中的一类题型抽象函数的题型，函数满足某些性质，考察的就是同态和同构的定义

指数乘法与整数加法运算：

$$\begin{array}{l} 假设整数集合Z里的运算是加法，Z通过映射 \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f:a→e^a\\ 产生一个实数集合(这里e是自然常数): \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\{e^a\mid a∈Z\} \\定义这个实数集合里的运算是乘法，于是有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(a·b)=f(a)\odot(b)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~即f(a+b)=f(a)·(b)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~即e^{a+b}=e^a·e^b \end{array}$$

• 例2：对于高中导数题中，会有碰到指对同构类型的题目

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变换群与置换群

变换群

• 在介绍变换群之前，我们先要介绍映射关系的乘法运算，从而直接引出变换群。

映射关系的乘法运算：

$$\begin{array}{l} 规定集合A上的两个变换f和g的乘法如下:\\ 对于任意a∈R有fg(a)=f(g(a)) \end{array}$$

注意：这时变换关系（映射关系）的乘法运算，之后变换群中映射的乘法运算也就是该运算。

变换群定义：

$$\begin{array}{l} 一个集合A的若干变换如果对于变换的乘法构成群,则称为变换群。 \end{array}$$

注意：定义中构成群的是变换关系（映射关系）即f、g这种映射构成的集合满足群的定义而不是某个集合元素经过某个变换关系所构成的集合构成群。所以乘法构成群，群中的元素是f、g、h、恒等变换这些映射关系。

强调：变换群中的单位元是恒等变化这一映射关系

定理1：

$$\begin{array}{l} 集合A上所有一一变换能构成群,该群被称为最大变换群G \end{array}$$

定理5：凯莱定理（cayley定理）

$$\begin{array}{l} 任何一个群都同构于一个变换群 \end{array}$$

• 这里给一个例题：

置换群

• 理解每个群，要理解群中的元素到底指的是什么。要不然确实挺懵的。就像我理解变换群一样，刚开始并不知道变换群将的是对应关系。
• 接下来是置换群，置换群是比较直观，但确实一个分水岭。

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置换群的定义：

$$\begin{array}{l} 有限集上的一一变换叫做置换。同一集合上的若干置换构成的群称为置换群。\\ 包含n个元素的集合上的全体置换作成群的群，称为n次对称群，记为S_n \end{array}$$

注意1：置换群中的元素也和变换群一样，是有限集上一一变换构成的集合。该集合满足群的条件后，就被称为置换群。所以该群的元素还是像f、g这类的变换法则。

注意2：置换群是变换群中的一种，所以可以类比变换群去学习置换群

强调：可以类比一下变换群中的最大变换群，去记忆对称群

定理1：有限群的凯莱定理

$$\begin{array}{l} 任何一个有限群都同构于一个置换群 \end{array}$$

置换的乘法

• 这里了解完置换的定义和循环置换、对换后再来理解置换的乘法。这里讲完对换乘法之后就可以直接来到对称群

对称群

• 从上面的置换群定义中，得到了对称群的定义。从而再引出一些列概念，比如循环置换

对称群的定义：

$$\begin{array}{l} 包含n个元素的集合上的全体置换作成群的群，称为n次对称群，记为S_n \end{array}$$

定理2：

$$\begin{array}{l} n次对称群S_n的阶是n!,即\mid S_n \mid=n! \end{array}$$

定理3：

$$\begin{array}{l} 置换可以表示为若干个不相交循环置换的乘积 \end{array}$$

定理4：

$$\begin{array}{l} 任何一个循环置换都可以表示为若干个对换的乘积 \end{array}$$

定理4注解：

$$\begin{array}{l} 定理4还可以更准确地说为：\\ k-循环可以表示为至少(k-1)个对换的乘积\\ 或者(r_1r_2···r_{k-1}r_k)=(r_1r_k)·(r_1r_{k-1})·····(r_1r_2) \end{array}$$

推论：

$$\begin{array}{l} 任何一个置换都可以表示为若干个对换的乘积 \end{array}$$

奇置换和偶置换

• 由任何一个置换都可以由若干个对换表示，我们引出了奇置换和偶置换。

奇偶置换定义：

$$\begin{array}{l} 在S_n中,能够表示为奇数多个对换乘积的置换称为奇置换\\能够表示为偶数多个对换乘积的置换称为偶置换\\ 所有偶置换的集合记为A_n \end{array}$$

注意：这里的所有偶置换构成的集合比较特殊和重要。该集合关于变换的乘法也能构成一个群，该群有个名称叫做交错群。

交错群的定义：

$$\begin{array}{l} n元偶置换全体组成的集合为A_n\\ A_n对乘法构成一个群，该群称为交错群,其阶为\\ \mid A_n\mid=\frac{n!}{2} \end{array}$$

定理5：

$$\begin{array}{l} 当n≥2时,S_n中奇置换和偶置换各占一半,即\mid A_n \mid=\frac{n!}{2} \end{array}$$

循环群

• 这里将介绍其他群的概念，循环群、生成元、元素的阶
• 循环群学过了都说是群中最简单的一类群，在学习循环群时要先来理解一下欧拉函数。

前提知识

欧拉函数：

$$\begin{array}{l} 欧拉函数\phi(n)定义为：小于n且与n互素的非负整数个数 \end{array}$$

• 两个例题练练手：

循环群

• 循环群的定义还是比较好理解的

循环群定义：

$$\begin{array}{l} 如果一个群G里的元素都是某一个元素g的幂\\则G称为循环群，g称为G的一个生成元。由g生成的循环群记为(g)即G=(g)。 \end{array}$$

无限循环群可表示为：

$$\{···,g^{-2},g^{-1},g^0,g^1,g^2,···\} \\其中g^0=e$$

有限n阶循环群可表示为：

$$\{g^0,g^1,g^2,···,g^{n-1}\} \\其中g^0=e$$

交错群

剩余类群

• 同余、剩余类、剩余类群

子群

• 接下来介绍一下子群，来进一步了解一下群的性质。

子群的概念

• 在群中定义了一些群中子集的运算，这里介绍一下。

设G是一个群，A，B是G的非空子1集，g是G的一个元素，我们规定群中子集的运算如下：

$$\begin{array}{l} AB=\{ab|a∈A,b∈B\},\\ A^{-1}=\{a^{-1}\mid a∈A\},\\ gA=\{ga\mid a∈A\}。\\ 这里要注意一点就是，AA^{-1}并不等于\{e\},根据第二个公式，AA^{-1}=\{a_1a_2^{-1}\mid a_1,a_2∈A\} \end{array}$$

• 从群中子集的运算我们引出了子群的概念。

子群：一个子集内的元素也可以满足群的条件而成为一个群，这就是子群的概念。

$$\begin{array}{l} 定义：一个群G的一个子集H如果对于G的乘法构成一个群，则称为G的子群。\\ 注意：\\对于任意一个群G至少有两个子群:①G本身;②只包含单位元的子集\{e\}\\它们称为G的平凡子群,其他群称为真子群。 \end{array}$$

陪集

• 集合的运算、陪集、拉格朗日定理、子群在群中的指数、

前置知识

• 在了解陪集之前先要了解一下集合与元素的乘法运算以及集合与集合的乘法运算。

集合与元素的乘法运算

集合A与元素b的乘法运算的结果得到一个新集合B，该集合中的元素就是集合A中的每个元素与元素b的乘积。

符号表达为：

$$B = bA = \{ bh \mid h \in A \}$$

集合与集合的乘法运算

集合A与集合B的乘法运算的结果得到的仍是一个新集合C，该集合中的元素就是集合A中的每个元素与集合B中的每个元素的乘积

符号表达为：

$$C = AB =\left \{ab|a∈A,b∈B\right \}$$

• 知道集合与元素的乘法运算之后，这边介绍该运算中在群中的两个性质。

性质一：

设G是一个群。

$$aG = \left\{ ah \mid h \in G \right\} = G$$

证明思路就去证明:

$$aG\subseteq G和G\subseteq aG$$

性质二：

设G是一个群。

$$GG=\left \{ah|h∈G，a∈G\right \}=G$$

陪集的定义

• 了解了前置知识后再来了解陪集的定义。

陪集的定义：

左陪集：

$$\begin{array}{l} 设H是群G的一个子群。对于任意a∈G，集合\\aH=\{ah\mid h∈H\}\\称为H的一个左陪集，记为aH。 \end{array}$$

右陪集：

$$\begin{array}{l} 设H是群G的一个子群。对于任意a∈G，集合\\Ha=\{ha\mid h∈H\}\\称为H的一个右陪集，记为Ha。 \end{array}$$

注意：对于交换群(即阿贝尔群)，左陪集和右陪集是一致的，可以称为陪集。

特别地1：

$$\begin{array}{l} 当a∈H时有：aH=H,则H也是自己的一个左陪集。\\ 同理H也是自己的右陪集。 \end{array}$$

特别地2：

$$\begin{array}{l} 左右陪集都可由aH中的任意一个元素唯一确定。 \\假设:b∈aH,即b=ah(h∈H) \\即：bH=ahH=a(hH)=aH。\\右陪集也同理可证。 \end{array}$$

正规子群和商群