高等代数-一元多项式环

现在研究一下解一元高次方程的问题。解一元高次方程最核心的方法就是多项式的因式分解。所以这就需要研究多项式。

一元多项式

定义1：一元多项式的定义

设$K$是一个数域，$x$是一个符号，形如下述的表达式，其中$n\in \N,a_n,...,a_0\in K$称为他们的系数

$$a_nx^{n}+...+a_ix^{i}+...+a_1x+a_0$$

如果满足：两个这种形式的表达式相等当且仅当它们含有完全相同的项(除去系数为0的项以外)，那么就称这种表达式是数域$K$上的一个一元多项式，x称为不定元

注解1：零多项式：系数全为0的一元多项式称为零多项式，记作0

注解2：一元多项式通常记作$f(x)=a_nx^{n}+...+a_ix^{i}+...+a_1x+a_0$，其中$a_ix^{i}$被称为i次项；$a_0$被称为0次项或者常数项；$a_nx^{n}$如果$a_n≠0$那么该项就被称为首项

注解3：n称为$f(x)$的次数，记作$deg~f(x)$，deg的英文全称为degree

注解4：0次多项式形如b，其中$b\in K^{*}$，即$b≠0$

注解5：0多项式与0次多项式要区分开来，0多项式所有系数都为零，而0次多项式常数项不为0。为了区分开来0多项式记作：$deg~0=-\infty$，且规定$①-\infty <n,②-\infty+n=-\infty,\forall n\in N$，$③(-\infty)+(-\infty)=-\infty$

多项式的运算律：

定义2：多项式的加法

规定多项式加法运算：有两个多项式，设$n≥m$

$$\sum_{i=0}^{n}a_ix^{i}+\sum_{i=0}^{m}b_ix^{i}:=\sum^{n}_{i=0}(a_i+b_i)x^{i}$$

定义3：多项式乘法

规定多项式乘法运算：

$$(\sum^{n}_{i=0}a_ix^{i})(\sum_{j=0}^{m}b_jx^{j}):=\sum^{n}_{i=0}\sum^{m}_{j=0}a_ib_jx^{i+j}=\sum^{n+m}_{s=0}({\sum_{i+j=s}a_ib_j})x^{s}$$

根据多项式乘法的定义就有数量乘法的定义：

$$k(\sum^{n}_{i=0}a_ix^{i})=\sum^{n}_{i=0}(ka_i)x^{i}$$

容易验证：$K[x]$对于加法和数量乘法成为数域$K$上的一个线性空间，并且这个线性空间的维数是无限维的。$K[x]$是线性空间是比较显然的，而$K[x]$是无限维的这就需要证明一下。

• 要证明这个线性空间是无限维的，就需要证明这个线性空间需要使用无限个元素线性无关。
• 要证明无限个元素线性表出，需要证明这个线性空间的任意一个有限子集线性无关。

• 下面证明：
  • $K[x]$中每一个多项式可以由集合$\Omega = \{1,x,x^2,...,x^n,....\}$中有限多个多项式线性表出
  • 任取$\Omega_1=\{x^{i_1},x^{i_2},...,x^{i_m}\}$，该集合有一个线性组合：$k_1x^{i_1}+...+k_mx^{i_m}=\mathbf{0}$
  • 由多项式定义1可以得到：$k_1=...=k_m=0$，因此$\Omega_1$线性无关。
  • 由于$\Omega_1$是$\Omega$任意一个有限子集，从而$\Omega$线性无关。
  • 所以：$\Omega=\{1,x,x^{2},...,x^{n},...\}$是无限维的线性空间。

一元多项式乘法满足：交换律、结合律以及对加法的分配律且$1·f(x)=f(x)·1=f(x),\forall f(x)\in K[x]$

命题1：两个多项式相加、相乘后得到的多项式与原来多项式次数之间的关系

设$f(x),g(x)\in K[x]$，不妨设$deg[f(x)]=n,deg[g(x)]=m$，且满足$n≥m$则：

$$deg[f(x)+g(x)]≤max\{deg[f(x)],deg[g(x)]\}\\ deg[f(x)*g(x)]=deg[f(x)]+deg[g(x)]$$

推论1：

$f(x)≠0,g(x)≠0\Rightarrow f(x)g(x)≠0$

推论2：消去律

设$f(x)g(x)=f(x)h(x)$，且$f(x)≠0$，则$g(x)=h(x)$

补充：

$f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]$

一元多项式环

环的概念：

定义4：环的定义

一个非空集合$R$如果有两个代数运算，一个叫做加法，一个叫做乘法，并且满足：

1. $(a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b\in R$
2. $a+b=b+a,\forall a,b\in R$，强调：其中$a+b \in R$，需要保持封闭性。
3. $R$中有一个元素，记作$0$，由这样的性质：$0+a=a+0=0,\forall a \in R$，把$0$称为$R$的零元
4. 对于$a\in R$，存在$b\in R$使得：$a+b= b+a = 0$那么就称$b$是$a$的负元，记作$-a$
5. $(ab)c=a(bc),\forall a,b,c\in R$
6. 满足左分配律：$a(b+c)=ab+ac,\forall a,b,c\in R$，满足右分配律：$(b+c)a = ba+ca ,\forall a,b,c \in R$

那么称$(R,+,·)$是一个环Ring

补充：设$(R,+,·)$是一个环

补充1：若$R$的乘法满足交换律，则称$R$是一个交换环。

补充2：若$R$有一个元素$e$具有如下性质：$ea=ae=a,\forall a\in R$，则称$e$是$R$的单位元(通常地把$R$的单位原记作$1$)

补充3：对于$a\in R$，如果存在$b\in R$且$b≠0$，使得$ab = 0$，那么称$a$是一个左零因子；相同地，对于$a\in R$ ，如果存在$b \in R$且$b ≠0$，使得$ba=0$，那么称$a$是一个右零因子。统称为零因子

补充4：环$R$中定义减法：$a-b:=a+(-b)$

注意：在环的定义中0只是由加法定义的，而在补充中零因子是由乘法定义的。

命题2：加法零在乘法中的性质

在环$R$中，$0a=a0=0,\forall a \in R$，从而0是零因子，称它为平凡的零因子。而矩阵构成的环中是有非平凡零因子的，多项式构成的环是没有非平凡零因子的。

子环的概念：

定义5：

环$R$的一个非空子集$R_1$，如果对于$R$的加法和乘法运算也成为一个环，那么称$R_1$是$R$的一个子环。

命题3：

环$R$的一个非空子集$R_1$是子环$\Leftrightarrow$从$a,b \in R_1$可以得到$ab \in R_1, a-b\in R_1$

例子1：$A\in M_n(K)$，表达式$b_mA^{m}+...+b_1A+b_0I$称为矩阵$A$的多项式，其中$m\in N$，令$K[A]=\{矩阵A的多项式\}$，容易验证，$K[A]$对于矩阵的减法和乘法封闭，从而$K[A]$是环$M_n(K)$的一个子环，且$K[A]$是有单位元$I$的交换环。

同构映射的概念：

引入：$KI$是$K[A]$的一个子环，由一个映射$\tau$，满足：$K\to KI$，也就是$k\to kI=\begin{bmatrix}k&0&\dots&0\0&k&\dots &0\0&0&\ddots&0\0&0&\dots&k\end{bmatrix} $，显然$\tau$是一个双射，保持加法，乘法

定义6：

若环$R$到$R'$有一个双射$\sigma$满足如下条件，则称$\sigma$是环$R$到环$R'$的一个同构映射，此时称环$R$与环$R'$是同构的：

1. $\sigma(a+b) = \sigma(a)+\sigma (b)$

2. $\sigma(ab)=\sigma(a)·\sigma(b)$

命题4：

若环$R$到$R'$有一个同构映射$\sigma$，且$R$有单位元$e$，则$\sigma(e)$是$R'$的单位元。

• 命题4证明如下：
  • 任取$a'\in R'$，由于$\sigma$是满射，因此存在$a\in R$，使得$a' = \sigma(a)$
  • 从而满足：
    • $\sigma(e)a'=\sigma(e)\sigma(a)=\sigma(ea)=\sigma(a)=a'$
    • $a'\sigma(e)=\sigma(a)\sigma(e)=\sigma(ae)=\sigma(a)=a'$
  • 满足环中单位元的定义，因此$\sigma(e)$是环$R'$的单位元。

定理1：一元多项式环的通用性质

设$K$是一个数域，$R$是一个有单位元$1'$的交换环，且$K$到$R$的一个子环$R_1$（含有$1'$）有一个同构映射$\tau$，那么任给$t\in R$，令$\sigma_t:K[x]\to R$，$f(x)=\sum ^{n}_{i=0}a_ix^i \to \sum ^{n}_{i=0}\tau(a_i)t^{i}=:f(t)$，则$\sigma_t$是$K[x]$到$R$的一个映射$\sigma_t(x)=t$且$\sigma_t$保持加法、乘法运算即$f(x)+g(x)=h(x),f(x)·g(x)=p(x)$，有$f(t)+g(t)=h(t),f(t)·g(t)=p(t)$称$\sigma(t)$是$x$用$t$带入。

多项式环整除关系

定义7：

设$f(x),g(x)\in K[x]$，如果存在$h(x)\in K[x]$使得$f(x)=h(x)g(x)$则称$g(x)$整除$f(x)$，记作$g(x)|f(x)$否则称$g(x)$不能整除$f(x)$，记作$g(x)\nmid f(x)$

注意1：$\forall f(x)\in K[x],\forall b \in K$，由于$f(x)=[b^{-1}f(x)]b$，因此$b|f(x)$

注意2：$\forall f(x) \in K[x]$，由于$0=0f(x)$，因此$f(x)|0$，特别地$0|0$

注意3：若$0|f(x)$，则$f(x)=h(x)·0=0$

注意4：整除关系是一个二元关系，满足反身性，传递性，但不满足对称性

命题5：

在$K[x]$中，若$g(x)|f(x)$，且$f(x)≠0$，则$deg~g(x)≤ deg~f(x)$

定义8：

在$K[x]$中，若$g(x)|f(x)$且$f(x)|g(x)$，则称$f(x)$与$g(x)$相伴，记作$f(x)\sim g(x)$

命题6：

在$K[x]$中，$f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=cg(x),c \in K^{*}$

命题7：

在$K[x]$中，若$g(x)|f(x),i=1,2,...,s$则对任意$u_1(x),...,u_s(x)$，都有$g(x)|u_1(x)f(x)+...+u_s(x)f_s(x)$

多项式环带余除法

定理8：带余除法

设$f(x),g(x)\in K[x]$，且$g(x)≠0$，则存在$K[x]$中唯一的一对多项式$h(x),r(x)$使得$f(x)=h(x)g(x)+r(x),deg~r(x)<deg~g(x)$，其中$h(x)$称为商式，$r(x)$称为余式。