线性映射的定义和性质

  • 先讨论线性映射

定义1：

设VV和V′V'都是域FF上的线性空间，VV到V′V'的一个映射A‾\underline{A}如果满足如下，那么我们称A‾\underline{A}是VV到V′V'的一个线性映射：

  1. A‾(α+β)=A‾(α)+A‾(B),∀α,β∈V\underline{A}(\alpha+\beta)=\underline{A}(\alpha)+\underline{A}(B),\forall \alpha,\beta \in V（A‾\underline{A}保持加法）
  2. $\underline{A}(k\alpha)=k\underline{A}(\alpha),\forall \alpha\in V,\forall k \in F （（\underline{A}$保持纯量乘法）

注解1：VV到自身的线性映射被称为VV上的线性变换

注解2：任给k∈F,K‾(α):=kα,∀α∈Vk\in F,\underline{K}(\alpha):=k\alpha,\forall \alpha \in V，则K‾\underline{K}是VV上的线性变换称K‾\underline{K}是VV上的数乘变换

注解3：零变换是特殊的数乘变换0‾(α)=0,∀α∈V\underline{0}(\alpha)=0,\forall \alpha \in V

注解4：恒等变换也是特殊的数称变换1‾(α)=α,∀α∈V\underline{1}(\alpha)=\alpha,\forall \alpha \in V，记作I‾\underline{I}

性质1：

设A‾:V→V′\underline{A}:V\rightarrow V'是线性映射，则满足如下几条性质：

  1. A‾(0)=0′\underline{A}(0)=0'
  2. A‾(−α)=−A‾(α)\underline{A}(-\alpha)=-\underline{A}(\alpha)
  3. A‾(k1α1+...+ksαs)=k1A‾(α1)+...+ksA‾(αs)\underline{A}(k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s)=k_1\underline{A}(\alpha_1)+...+k_s\underline{A}(\alpha_s)
  4. α1,...,αs\alpha_1,...,\alpha_s在VV中线性相关⇒A‾(α1),....,A‾(αs)\Rightarrow \underline{A}(\alpha_1),....,\underline{A}(\alpha_s)在V′V'中线性相关。
  5. 设dim(V)=ndim(V)=n，VV中取一个基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n任取α∈V\alpha \in V，并设α=a1α1+...+anαn\alpha= a_1\alpha_1+...+a_n\alpha_n，则A‾(α)=a1A‾(α1)+...+anA‾(αn)\underline{A}(\alpha)=a_1\underline{A}(\alpha_1)+...+a_n\underline{A}(\alpha_n)，从而A‾\underline{A}被它在VV中的一个基上的作用所决定，即若VV到V′V'的一个线性映射B‾\underline{B}满足B‾(αn)=A‾(αn)\underline{B}(\alpha_n)=\underline{A}(\alpha_n)，则B‾=A‾\underline{B}=\underline{A}
  6. A‾\underline{A}是VV到V′V'的一个同构映射⇔A‾\Leftrightarrow \underline{A}是VV到V′V'的可逆的线性映射。

定理1：

设VV和V′V'都是域FF上的线性空间，且dim(V)=ndim(V)=n，VV中取一个基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n，而V′V'中任取nn个向量γ1,..,γn\gamma_1,..,\gamma_n（可以有相同）

令A‾:V→V′\underline{A}:V\rightarrow V'，α=∑i=1naiαi→∑i=1nairi\alpha=\sum^{n}_{i=1}a_i\alpha_i \rightarrow \sum^{n}_{i=1}a_ir_i，则A‾\underline{A}是V→V′V\rightarrow V'的一个线性映射

  • 接着讨论VV与V′V'中所有线性映射构成的集合。

定义2：

设VV和V′V'都是域FF上的线性空间，规定Hom(V,V′):={V到V′的线性映射},Hom(V,V):={V上的线性变换}Hom(V,V'):=\{V到V'的线性映射\},Hom(V,V):=\{V上的线性变换\}。

在Hom(V,V′)Hom(V,V')：

  1. 规定加法：(A‾+B‾)α=A‾α+B‾α,∀α∈V(\underline{A}+\underline{B})\alpha=\underline{A}\alpha + \underline{B}\alpha,\forall \alpha \in V
  2. 规定纯量乘法：(kA‾)α:=k(A‾α),∀∈V(k\underline{A})\alpha :=k(\underline{A}\alpha),\forall \in V

很容易证明得到Hom(V,V′)Hom(V,V')保持加法，保持纯量乘法，因此可以得到Hom(V,V′)Hom(V,V')成为域FF上的，线性空间。

注解1：零元是零映射：0‾α=0′,∀α∈V\underline{0}\alpha = 0',\forall \alpha \in V

注解2：A‾\underline{A}的负元(−A‾)α=−A‾α,∀α∈V(-\underline{A})\alpha = -\underline{A}\alpha,\forall \alpha \in V

线性映射的核与象

定义1：

设A‾\underline{A}是域FF上线性空间VV到V′V'的一个，则VV的子集KerA‾:={α∈V∣A‾α=0′}Ker\underline{A}:=\{\alpha \in V| \underline{A}\alpha=0'\}称为A‾\underline{A}的核。

性质1：

KerA‾Ker\underline{A}是VV的一个子空间

性质2：

若A‾\underline{A}是单射⇔kerA‾=0\Leftrightarrow ker\underline{A}=0

性质3：

ImA‾I_{m}\underline{A}是(或A‾V\underline{A}V)是V′V'的子空间

性质4：

A‾\underline{A}是满射⇔InA‾=V′\Leftrightarrow I_n{\underline{A}}=V'

性质5：

有平行于WW在UU上的投影P‾U\underline{P}_{U}，有Im(P‾U)=UI_m(\underline{P}_U)=U

性质6：

对于映射σ:V/W→ImP‾U\sigma: V/W \rightarrow I_m\underline{P}_U，有如下同构映射：V/W≅ImP‾UV/W\cong I_m\underline{P}_U，即V/kerP‾U≅ImP‾UV/ker\underline{P}_U\cong I_m\underline{P}_U

定理1：

设A‾\underline{A}是域FF上的线性空间VV到V′V'的一个线性映射则V/kerA‾≅ImAV/ker\underline{A}\cong I_mA

定理2：

设A∈Hom(V,V′)A\in Hom(V,V')，dim(V)=ndim(V)=n，则dim(V)=dim(kerA‾)+dim(ImA‾)dim(V)=dim(ker\underline{A})+dim(I_m\underline{A})，且称dim(ImA‾)dim(I_m\underline{A})为线性映射A‾\underline{A}的秩，记作rank(A‾)rank(\underline{A})，称dim(KerA‾)dim(Ker\underline{A})为A‾\underline{A}的零度

推论1：

设A‾∈Hom(V,V′)\underline{A}\in Hom(V,V')且dim(V)=dim(V′)dim(V)=dim(V')则A‾\underline{A}是单射⇔A‾\Leftrightarrow \underline{A}是满射

推论2：

A‾\underline{A}是VV上的线性变换，dim(V)=ndim(V)=n，则A‾\underline{A}是单射⇔A\Leftrightarrow A是满射

线性变换和线性映射的矩阵

定义1：

设VV是域FF上的nn维线性空间，A‾\underline{A}是VV上的一个线性变换VV中取一个基α1,..,αn\alpha_1,..,\alpha_n，那么有：

A‾α1=a11α1+a21+a21α2+...+an1αnA‾α2=a12α1+a22+a21α2+...+an2αn⋮A‾αn=a1nα1+a2n+a21α2+...+annαn\begin{array}{l} \underline{A}\alpha_1 = a_{11}\alpha_1+a_{21}+a_{21}\alpha_2+...+a_{n1}\alpha_n\\ \underline{A}\alpha_2 = a_{12}\alpha_1+a_{22}+a_{21}\alpha_2+...+a_{n2}\alpha_n\\ \vdots \\ \underline{A}\alpha_n = a_{1n}\alpha_1+a_{2n}+a_{21}\alpha_2+...+a_{nn}\alpha_n\\ \end{array}

VV是域F上的线性空间，Vn:=V×V×...×V:={(α1,...,αn)∣αi∈V,i=1,...,n}V^{n}:=V×V×...×V:=\{(\alpha_1,...,\alpha_n)|\alpha_i\in V,i=1,...,n\}，容易验证VnV^{n}是域F上的线性空间。

定义2：

对于(A‾α1,...,A‾αn)(\underline{A}\alpha_1,...,\underline{A}\alpha_n)我们有如下等式：

(A‾α1,...,A‾αn)=(α1,...,αn)[a11…a1ma21…a2m⋮⋮an1…anm]=(a11α1+...+an1αn,...,a1mα1+a2mα2+....+anmαn)\begin{array}{l} (\underline{A}\alpha_1,...,\underline{A}\alpha_n)&=(\alpha_1,...,\alpha_n) \begin{bmatrix} a_{11} &\dots & a_{1m}\\ a_{21} &\dots & a_{2m}\\ \vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{nm} \end{bmatrix}\\ &=(a_{11}\alpha_1+...+a_{n1}\alpha_n,...,a_{1m}\alpha_1+a_{2m}\alpha_2+....+a_{nm}\alpha_{n}) \end{array}

那么规定(A‾α1,...,A‾αn)=(α1,...,αn)A(\underline{A}\alpha_1,...,\underline{A}\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)A，记A‾(α1,...,αn)=(α1,...,αn)A\underline{A}(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)A，把AA称为线性变换A‾\underline{A}在基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n下的矩阵，AA的第jj列是A‾αj\underline{A}\alpha_{j}在基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n下的坐标。

定理1：

设A‾∈Hom(V,V′),dim(V)=n\underline{A}\in Hom(V,V'),dim(V)=n，dim(V′)=sdim(V')=s，VV中取一个基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n，V′V'中取一个基η1,...,ηs\eta_1,...,\eta_s那么有(A‾α1,...,A‾αn)=(η1,...,ηs)A(\underline{A}\alpha_1,...,\underline{A}\alpha_n)=(\eta_1,...,\eta_s)A，把AA称为线性映射A‾\underline{A}在基α1,....,αn\alpha_1,....,\alpha_n和V′V'的基η1,...,ηs\eta_1,...,\eta_s下的矩阵。

设B‾∈Hom(V,V′)\underline{B}\in Hom(V,V')，则有如下：

  1. (A‾+B‾)=(η1,...,ηs)(A+B)(\underline{A}+\underline{B})=(\eta_1,...,\eta_s)(A+B)
  2. (kA‾)(α1,...,αn)=(η1,...,ηs)(kA)(k\underline{A})(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\eta_1,...,\eta_s)(kA)

因此对于映射σ:Hom(V,V′)→Ms×n(F)\sigma: Hom(V,V')\rightarrow M_{s×n}(F)都有即A‾→A\underline{A}\rightarrow A，基中A‾(α1,...,αn)=(η1,...,ηs)A\underline{A}(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\eta_1,...,\eta_s)A，设B‾→B\underline{B}\rightarrow B，其中B‾(α1,...,αn)=(η1,...,ηs)B\underline{B}(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\eta_1,...,\eta_s)B

那么有σ(A‾+B‾)=σ(A‾)+σ(B‾)\sigma(\underline{A}+\underline{B})=\sigma(\underline{A})+\sigma(\underline{B})，以及σ(kA‾)=kσ(A‾)\sigma(k\underline{A})=k\sigma(\underline{A})，任意给C=(c1,...,cn)∈Ms×n(F)C=(c_1,...,c_n)\in M_{s×n}(F)，那么一定存在一个C‾(α1,...,αn)=(η1,...,ηs)(c1,...,cn)\underline{C}(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\eta_1,...,\eta_s)(c_1,...,c_n)，因此σ\sigma是双射，从而σ\sigma是Hom(V,V′)Hom(V,V')到Ms×n(F)M_{s×n}(F)的一个同构映射。

线性变换在不同基下的矩阵之间的关系

定义1：

设A‾\underline{A}是域FF上nn维线性空间VV上的一个线性变换，VV中两个基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n；η1,...,ηn\eta_1,...,\eta_n，设：

(η1,...,ηn)=(α1,....,αn)[s11...s1ns21...s2n⋮⋮sn1…snn](\eta_1,...,\eta_n)=(\alpha_1,....,\alpha_n) \begin{bmatrix} s_{11}&...&s_{1n}\\ s_{21}&...&s_{2n}\\ \vdots&&\vdots\\ s_{n1}&\dots&s_{nn} \end{bmatrix}

将上式中的矩阵记为SS，把SS称为基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n到基η1,...,ηn\eta_1,...,\eta_n的过渡矩阵。

定理1：

过渡矩阵一定是可逆矩阵

定义2：

设A,B∈Mm(F)A,B\in M_{m}(F)，如果存在域FF上的nn级可逆矩阵PP，使得B=P−1APB=P^{-1}AP那么称AA与BB是相似的，记为A∼BA\sim B

注解1：由定理1可以表明线性变换A‾\underline{A}在VV的不同角度下的矩阵是相似的。

注解2：相似关系是Mn(F)M_n(F)上的一个等价关系，AA的等价类称为AA的相似类

性质1：

若A∼BA \sim B，则∣A∣=∣B∣|A|=|B|，rank(A)=rank(B)rank(A)=rank(B)

定义3：

设一个矩阵AA如下：

A=[a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann]A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}& a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}

称主对角线元素之和即a11+a22+...+anna_{11}+a_{22}+...+a_{nn}为矩阵AA的迹trac，记为tr(A)tr(A)

命题1：

设A,B∈Mn(F)A,B\in M_n(F)，则tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)，tr(kA)=ktr(A)tr(kA)=ktr(A)，tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)

性质2：

若A∼BA\sim B，则tr(A)=tr(B)tr(A)=tr(B)

注解：nn级矩阵的行列式、秩、迹是相似关系的不变量，把线性变换A‾\underline{A}在VV的一个基下的矩阵的行列式、秩、迹称为A‾\underline{A}的行列式、秩、迹，，并且前面还有定义rank(A‾):=dim(ImA‾)rank(\underline{A}):=dim(I_m\underline{A})

线性变换的特征值和特征向量

定义1：

设A‾\underline{A}是域FF上线性空间VV上的一个线性变换，如果存在λ0∈F\lambda_0\in F，以及VV中的一个非零向量ξ\xi，使得A‾ξ=λ0ξ\underline{A}\xi=\lambda_0\xi，那么称λ0\lambda_0是A‾\underline{A}的一个特征值，称ξ\xi是A‾\underline{A}的属于特征值λ0\lambda_0的一个特征向量。

定义2：

设A‾∈Hom(V,V)\underline{A}\in Hom(V,V)，λ0\lambda_0是A‾\underline{A}的一个特征向量，设Vλ0:={α∈V∣A‾α=λ0α}V_{\lambda_0}:=\{\alpha\in V|\underline{A}\alpha = \lambda_0\alpha\}，容易得到0∈Vλ0,α+β∈Vλ0,kα∈Vλ00\in V_{\lambda_0},\alpha+\beta\in V_{\lambda_0},k\alpha \in V\lambda_0，所以Vλ0V_{\lambda_0}是VV的一个子空间，称Vλ0V_{\lambda_0}是A‾\underline{A}的属于特征值λ0\lambda_0的特征子空间。

定理1：

设A‾∈Hom(V,V)\underline{A}\in Hom(V,V)，λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2是A‾\underline{A}的不同特征值，Vλ1V_{\lambda_1}是中α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n线性无关，Vλ2V_{\lambda_2}中β1,...,βr\beta_1,...,\beta_r线性无关，则α1,...,αs\alpha_1,...,\alpha_s，那么α1,...αn,β1,...,βs\alpha_1,...\alpha_n,\beta_1,...,\beta_s仍然线性无关。

定理2：

设A‾\underline{A}是域FF上nn维线性空间VV上的一个线性变化，VV中的一个基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n，A‾\underline{A}在该基下的矩阵为AA，VV中向量ξ\xi在此基下的坐标为yy，则λ0\lambda_0是A‾\underline{A}的一个特征值，ξ\xi是A‾\underline{A}的属于λ0\lambda_0的一个特征向量$\Leftrightarrow \underline{A}\xi =\lambda_0\xi,\lambda_0 \in F ,\xi \in V且\xi≠0 $

⇔Ay=λ0y,λ0∈F,y∈Fn且y≠0\Leftrightarrow Ay=\lambda_0y,\lambda_0 \in F,y\in F^{n}且y≠0

⇔λ0\Leftrightarrow \lambda_0是AA的一个特征值，ξ\xi的坐标yy是AA的属于λ0\lambda_0的一个特征向量（这一点是结论）

定义3：

设A∈Mn(F)A\in M_n(F)如果存在λ0∈F\lambda_0 \in F，以及FnF^{n}中一个非零的列向量yy，使得Ay=λ0yAy=\lambda_0y，那么称λ0\lambda_0是矩阵AA的一个特征值，yy是AA的属于特征值λ0\lambda_0的一个特征向量

求域FF上nn级矩阵AA的全部特征值和特征向量的步骤：

第一步：计算∣λI−A∣|\lambda I -A|

第二步：求AA的特征多项式∣λI−A∣|\lambda I -A|的全部根，它们就是AA的全部特征值

第三步：对于AA的每一个特征值λi\lambda_i，求齐次线性方程组(λiI−A)X=0(\lambda_i I-A)X=0的解空间的一个基（或者说齐次线性方程组的基础解系）αi1,...,αiri\alpha_{i1},...,\alpha_{ir_i}则A‾\underline{A}的属于特征值λi\lambda_i的全部特征向量是{k1αi1+...+krαiri∣k1,...,kr∈F,且不全为零}\{k_{1}\alpha_{i1}+...+k_{r}\alpha_{ir_i}|k_1,...,k_{r}\in F,且不全为零\}

命题1：

设A,B∈Mn(F)A,B\in M_n(F)，若A∼BA \sim B，则AA与BB的特征多项式相等，从而AA与BB有相同的特征值（重根按重复计算）