线性映射的定义和性质

  • 先讨论线性映射

定义1：

设$V$和$V’$都是域$F$上的线性空间，$V$到$V’$的一个映射$\underline{A}$如果满足如下，那么我们称$\underline{A}$是$V$到$V’$的一个线性映射：

  1. $\underline{A}(\alpha+\beta)=\underline{A}(\alpha)+\underline{A}(B),\forall \alpha,\beta \in V$（$\underline{A}$保持加法）
  2. $\underline{A}(k\alpha)=k\underline{A}(\alpha),\forall \alpha\in V,\forall k \in F $（$\underline{A}$保持纯量乘法）

注解1：$V$到自身的线性映射被称为$V$上的线性变换

注解2：任给$k\in F,\underline{K}(\alpha):=k\alpha,\forall \alpha \in V$，则$\underline{K}$是$V$上的线性变换称$\underline{K}$是$V$上的数乘变换

注解3：零变换是特殊的数乘变换$\underline{0}(\alpha)=0,\forall \alpha \in V$

注解4：恒等变换也是特殊的数称变换$\underline{1}(\alpha)=\alpha,\forall \alpha \in V$，记作$\underline{I}$

性质1：

设$\underline{A}:V\rightarrow V’$是线性映射，则满足如下几条性质：

  1. $\underline{A}(0)=0’$
  2. $\underline{A}(-\alpha)=-\underline{A}(\alpha)$
  3. $\underline{A}(k_1\alpha_1+…+k_s\alpha_s)=k_1\underline{A}(\alpha_1)+…+k_s\underline{A}(\alpha_s)$
  4. $\alpha_1,…,\alpha_s$在$V$中线性相关$\Rightarrow \underline{A}(\alpha_1),…,\underline{A}(\alpha_s)$在$V’$中线性相关。
  5. 设$dim(V)=n$，$V$中取一个基$\alpha_1,…,\alpha_n$任取$\alpha \in V$，并设$\alpha= a_1\alpha_1+…+a_n\alpha_n$，则$\underline{A}(\alpha)=a_1\underline{A}(\alpha_1)+…+a_n\underline{A}(\alpha_n)$，从而$\underline{A}$被它在$V$中的一个基上的作用所决定，即若$V$到$V’$的一个线性映射$\underline{B}$满足$\underline{B}(\alpha_n)=\underline{A}(\alpha_n)$，则$\underline{B}=\underline{A}$
  6. $\underline{A}$是$V$到$V’$的一个同构映射$\Leftrightarrow \underline{A}$是$V$到$V’$的可逆的线性映射。

定理1：

设$V$和$V’$都是域$F$上的线性空间，且$dim(V)=n$，$V$中取一个基$\alpha_1,…,\alpha_n$，而$V’$中任取$n$个向量$\gamma_1,…,\gamma_n$（可以有相同）

令$\underline{A}:V\rightarrow V’$，$\alpha=\sum^{n}{i=1}a_i\alpha_i \rightarrow \sum^{n}{i=1}a_ir_i$，则$\underline{A}$是$V\rightarrow V’$的一个线性映射

  • 接着讨论$V$与$V’$中所有线性映射构成的集合。

定义2：

设$V$和$V’$都是域$F$上的线性空间，规定$Hom(V,V’):={V到V’的线性映射},Hom(V,V):={V上的线性变换}$。

在$Hom(V,V’)$：

  1. 规定加法：$(\underline{A}+\underline{B})\alpha=\underline{A}\alpha + \underline{B}\alpha,\forall \alpha \in V$
  2. 规定纯量乘法：$(k\underline{A})\alpha :=k(\underline{A}\alpha),\forall \in V$

很容易证明得到$Hom(V,V’)$保持加法，保持纯量乘法，因此可以得到$Hom(V,V’)$成为域$F$上的，线性空间。

注解1：零元是零映射：$\underline{0}\alpha = 0’,\forall \alpha \in V$

注解2：$\underline{A}$的负元$(-\underline{A})\alpha = -\underline{A}\alpha,\forall \alpha \in V$

线性映射的核与象

定义1：

设$\underline{A}$是域$F$上线性空间$V$到$V’$的一个，则$V$的子集$Ker\underline{A}:={\alpha \in V| \underline{A}\alpha=0’}$称为$\underline{A}$的核。

性质1：

$Ker\underline{A}$是$V$的一个子空间

性质2：

若$\underline{A}$是单射$\Leftrightarrow ker\underline{A}=0$

性质3：

$I_{m}\underline{A}$是(或$\underline{A}V$)是$V’$的子空间

性质4：

$\underline{A}$是满射$\Leftrightarrow I_n{\underline{A}}=V’$

性质5：

有平行于$W$在$U$上的投影$\underline{P}_{U}$，有$I_m(\underline{P}_U)=U$

性质6：

对于映射$\sigma: V/W \rightarrow I_m\underline{P}_U$，有如下同构映射：$V/W\cong I_m\underline{P}_U$，即$V/ker\underline{P}_U\cong I_m\underline{P}_U$

定理1：

设$\underline{A}$是域$F$上的线性空间$V$到$V’$的一个线性映射则$V/ker\underline{A}\cong I_mA$

定理2：

设$A\in Hom(V,V’)$，$dim(V)=n$，则$dim(V)=dim(ker\underline{A})+dim(I_m\underline{A})$，且称$dim(I_m\underline{A})$为线性映射$\underline{A}$的秩，记作$rank(\underline{A})$，称$dim(Ker\underline{A})$为$\underline{A}$的零度

推论1：

设$\underline{A}\in Hom(V,V’)$且$dim(V)=dim(V’)$则$\underline{A}$是单射$\Leftrightarrow \underline{A}$是满射

推论2：

$\underline{A}$是$V$上的线性变换，$dim(V)=n$，则$\underline{A}$是单射$\Leftrightarrow A$是满射

线性变换和线性映射的矩阵

定义1：

设$V$是域$F$上的$n$维线性空间，$\underline{A}$是$V$上的一个线性变换$V$中取一个基$\alpha_1,…,\alpha_n$，那么有：
$$
\begin{array}{l}
\underline{A}\alpha_1 = a_{11}\alpha_1+a_{21}+a_{21}\alpha_2+…+a_{n1}\alpha_n\
\underline{A}\alpha_2 = a_{12}\alpha_1+a_{22}+a_{21}\alpha_2+…+a_{n2}\alpha_n\
\vdots \
\underline{A}\alpha_n = a_{1n}\alpha_1+a_{2n}+a_{21}\alpha_2+…+a_{nn}\alpha_n\
\end{array}
$$
$V$是域F上的线性空间，$V^{n}:=V×V×…×V:={(\alpha_1,…,\alpha_n)|\alpha_i\in V,i=1,…,n}$，容易验证$V^{n}$是域F上的线性空间。

定义2：

对于$(\underline{A}\alpha_1,…,\underline{A}\alpha_n)$我们有如下等式：
$$
\begin{array}{l}
(\underline{A}\alpha_1,…,\underline{A}\alpha_n)&=(\alpha_1,…,\alpha_n)
\begin{bmatrix}
a_{11} &\dots & a_{1m}\
a_{21} &\dots & a_{2m}\
\vdots &&\vdots\
a_{n1}&\dots&a_{nm}
\end{bmatrix}\
&=(a_{11}\alpha_1+…+a_{n1}\alpha_n,…,a_{1m}\alpha_1+a_{2m}\alpha_2+…+a_{nm}\alpha_{n})
\end{array}
$$
那么规定$(\underline{A}\alpha_1,…,\underline{A}\alpha_n)=(\alpha_1,…,\alpha_n)A$，记$\underline{A}(\alpha_1,…,\alpha_n)=(\alpha_1,…,\alpha_n)A$，把$A$称为线性变换$\underline{A}$在基$\alpha_1,…,\alpha_n$下的矩阵，$A$的第$j$列是$\underline{A}\alpha_{j}$在基$\alpha_1,…,\alpha_n$下的坐标。

定理1：

设$\underline{A}\in Hom(V,V’),dim(V)=n$，$dim(V’)=s$，$V$中取一个基$\alpha_1,…,\alpha_n$，$V’$中取一个基$\eta_1,…,\eta_s$那么有$(\underline{A}\alpha_1,…,\underline{A}\alpha_n)=(\eta_1,…,\eta_s)A$，把$A$称为线性映射$\underline{A}$在基$\alpha_1,…,\alpha_n$和$V’$的基$\eta_1,…,\eta_s$下的矩阵。

设$\underline{B}\in Hom(V,V’)$，则有如下：

  1. $(\underline{A}+\underline{B})=(\eta_1,…,\eta_s)(A+B)$
  2. $(k\underline{A})(\alpha_1,…,\alpha_n)=(\eta_1,…,\eta_s)(kA)$

因此对于映射$\sigma: Hom(V,V’)\rightarrow M_{s×n}(F)$都有即$\underline{A}\rightarrow A$，基中$\underline{A}(\alpha_1,…,\alpha_n)=(\eta_1,…,\eta_s)A$，设$\underline{B}\rightarrow B$，其中$\underline{B}(\alpha_1,…,\alpha_n)=(\eta_1,…,\eta_s)B$

那么有$\sigma(\underline{A}+\underline{B})=\sigma(\underline{A})+\sigma(\underline{B})$，以及$\sigma(k\underline{A})=k\sigma(\underline{A})$，任意给$C=(c_1,…,c_n)\in M_{s×n}(F)$，那么一定存在一个$\underline{C}(\alpha_1,…,\alpha_n)=(\eta_1,…,\eta_s)(c_1,…,c_n)$，因此$\sigma$是双射，从而$\sigma$是$Hom(V,V’)$到$M_{s×n}(F)$的一个同构映射。

线性变换在不同基下的矩阵之间的关系

定义1：

设$\underline{A}$是域$F$上$n$维线性空间$V$上的一个线性变换，$V$中两个基$\alpha_1,…,\alpha_n$；$\eta_1,…,\eta_n$，设：
$$
(\eta_1,…,\eta_n)=(\alpha_1,…,\alpha_n)
\begin{bmatrix}
s_{11}&…&s_{1n}\
s_{21}&…&s_{2n}\
\vdots&&\vdots\
s_{n1}&\dots&s_{nn}
\end{bmatrix}
$$
将上式中的矩阵记为$S$，把$S$称为基$\alpha_1,…,\alpha_n$到基$\eta_1,…,\eta_n$的过渡矩阵。

定理1：

过渡矩阵一定是可逆矩阵

定义2：

设$A,B\in M_{m}(F)$，如果存在域$F$上的$n$级可逆矩阵$P$，使得$B=P^{-1}AP$那么称$A$与$B$是相似的，记为$A\sim B$

注解1：由定理1可以表明线性变换$\underline{A}$在$V$的不同角度下的矩阵是相似的。

注解2：相似关系是$M_n(F)$上的一个等价关系，$A$的等价类称为$A$的相似类

性质1：

若$A \sim B$，则$|A|=|B|$，$rank(A)=rank(B)$

定义3：

设一个矩阵$A$如下：
$$
A=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\
\vdots&\vdots&&\vdots\
a_{n1}& a_{n2}&\dots&a_{nn}
\end{bmatrix}
$$
称主对角线元素之和即$a_{11}+a_{22}+…+a_{nn}$为矩阵$A$的迹trac，记为$tr(A)$

命题1：

设$A,B\in M_n(F)$，则$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$，$tr(kA)=ktr(A)$，$tr(AB)=tr(BA)$

性质2：

若$A\sim B$，则$tr(A)=tr(B)$

注解：$n$级矩阵的行列式、秩、迹是相似关系的不变量，把线性变换$\underline{A}$在$V$的一个基下的矩阵的行列式、秩、迹称为$\underline{A}$的行列式、秩、迹，，并且前面还有定义$rank(\underline{A}):=dim(I_m\underline{A})$

线性变换的特征值和特征向量

定义1：

设$\underline{A}$是域$F$上线性空间$V$上的一个线性变换，如果存在$\lambda_0\in F$，以及$V$中的一个非零向量$\xi$，使得$\underline{A}\xi=\lambda_0\xi$，那么称$\lambda_0$是$\underline{A}$的一个特征值，称$\xi$是$\underline{A}$的属于特征值$\lambda_0$的一个特征向量。

定义2：

设$\underline{A}\in Hom(V,V)$，$\lambda_0$是$\underline{A}$的一个特征向量，设$V_{\lambda_0}:={\alpha\in V|\underline{A}\alpha = \lambda_0\alpha}$，容易得到$0\in V_{\lambda_0},\alpha+\beta\in V_{\lambda_0},k\alpha \in V\lambda_0$，所以$V_{\lambda_0}$是$V$的一个子空间，称$V_{\lambda_0}$是$\underline{A}$的属于特征值$\lambda_0$的特征子空间。

定理1：

设$\underline{A}\in Hom(V,V)$，$\lambda_1,\lambda_2$是$\underline{A}$的不同特征值，$V_{\lambda_1}$是中$\alpha_1,…,\alpha_n$线性无关，$V_{\lambda_2}$中$\beta_1,…,\beta_r$线性无关，则$\alpha_1,…,\alpha_s$，那么$\alpha_1,…\alpha_n,\beta_1,…,\beta_s$仍然线性无关。

定理2：

设$\underline{A}$是域$F$上$n$维线性空间$V$上的一个线性变化，$V$中的一个基$\alpha_1,…,\alpha_n$，$\underline{A}$在该基下的矩阵为$A$，$V$中向量$\xi$在此基下的坐标为$y$，则$\lambda_0$是$\underline{A}$的一个特征值，$\xi$是$\underline{A}$的属于$\lambda_0$的一个特征向量$\Leftrightarrow \underline{A}\xi =\lambda_0\xi,\lambda_0 \in F ,\xi \in V且\xi≠0 $

$\Leftrightarrow Ay=\lambda_0y,\lambda_0 \in F,y\in F^{n}且y≠0$

$\Leftrightarrow \lambda_0$是$A$的一个特征值，$\xi$的坐标$y$是$A$的属于$\lambda_0$的一个特征向量（这一点是结论）

定义3：

设$A\in M_n(F)$如果存在$\lambda_0 \in F$，以及$F^{n}$中一个非零的列向量$y$，使得$Ay=\lambda_0y$，那么称$\lambda_0$是矩阵$A$的一个特征值，$y$是$A$的属于特征值$\lambda_0$的一个特征向量

求域$F$上$n$级矩阵$A$的全部特征值和特征向量的步骤：

第一步：计算$|\lambda I -A|$

第二步：求$A$的特征多项式$|\lambda I -A|$的全部根，它们就是$A$的全部特征值

第三步：对于$A$的每一个特征值$\lambda_i$，求齐次线性方程组$(\lambda_i I-A)X=0$的解空间的一个基（或者说齐次线性方程组的基础解系）$\alpha_{i1},…,\alpha_{ir_i}$则$\underline{A}$的属于特征值$\lambda_i$的全部特征向量是${k_{1}\alpha_{i1}+…+k_{r}\alpha_{ir_i}|k_1,…,k_{r}\in F,且不全为零}$

命题1：

设$A,B\in M_n(F)$，若$A \sim B$，则$A$与$B$的特征多项式相等，从而$A$与$B$有相同的特征值（重根按重复计算）