向量代数与空间解析几何

注：知识点的一些资料来源于网络，由于手打费时，而我做笔记主要是归纳题型，理清解题思路等等，敲知识点太慢了，就上网找了

向量及其线性运算

向量的概念

既有大小也有方向的量叫做向量‘。数学上通常用有向线段表示向量。
两个向量相等，它们的大小相等，且方向相同
$和的夹角，记作，取值范围$
$或，与平行$
$，则与垂直$
单位向量：模等于1的向量是单位向量

向量的线性运算

向量加法

向量的加减法：三角形法则、平行四边形法则
$向量加法满足交换律结合律$
$向量不等式：$

向量数乘

向量数乘性质：结合律、分配律
两向量平行的充分必要条件

空间直角坐标系

看书没啥好记的

利用坐标向量的线性运算

空间向量坐标加减法
空间向量平行坐标对应成比例
向量的定比分点公式

向量的模、方向角、投影

有些是高中知识，但是有些符号定义与高中不一样

3. 向量的投影

投影的定义

投影的性质

数量积向量积混合积

两向量的数量积

两向量的向量积

例题：

平面及其方程

平面的概念看一看

平面方程

点法式方程
一般式方程
截距式方程

两平面的夹角

平面束

**定义：**空间中通过同一直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，那条直线叫做平面束的轴

$已知两平面相交于交线$

$过的平面束就可以表示为注意：这里的平面束缺少平面$

空间直线及其方程

空间直线的方程

空间直线的一般方程

$设平面与$

$直线可看成两平面的交线，则方程为：$

对称式方程

$已知一个直线的方向向量直线上一点$

$则对称式为$

参数方程

$在一个对称式方程中$

$有$

两直线的夹角

直线与平面的夹角

曲面及其方程

空间曲面及其方程

一般方程
参数方程
二次曲面

题型归纳

高等数学第八章归纳

基本概念和判断

向量的运算与性质

向量的点乘运算

平面与直线的方程

求平面的方程

知识点

平面的方程的三种坐标表示（具体看前面知识点）
- 点法式：已知平面的法向量和平面上一点（常用）
  - 平面上一条直线的方向向量垂直于平面的法向量（容易忘记该条件，在题目给出平面通过直线时要注意）
- 一般式：通过待定系数法，注意x，y，z前面的系数与平面法向量的关系
  - 过原点的一般式表示
  - 过x轴或y轴或z轴一般式的表示
  - 平行x轴或平行y轴或平行z轴一般式的表示
- 截距式：知道平面与三个坐标轴的截距
使用平面束求平面方程(涉及到直线方程)

题目1：点法式求平面方程

题目2：待定系数法求平面方程

题目3：平面束求平面方程

题目4：给出角度条件求平面方程

题目5：与直线相关的求平面方程

题目6：求切平面和法平面

这个内容与涉及到多元函数的几何意义
对于求曲线的法平面：都采用参数化法（与求切线和法线一样）
- 当曲线为均能用一个变量表示，那么就直接求导即可
- 当曲线为隐函数的时候，把x当做参数，分别求y关于x的导数，z关于x的导数，解方程得到两个导数
对于曲面的切平面：
- 当曲面均能用一个变量表示，那么就直接求导即可
- 直接将曲面方程当做关于x、y、z的多元函数，其x、y、z偏导的对应方程即为其对应法向量的坐标方程

求空间直线的方程

知识点

利用点向式：直线上一点和直线方向向量
- 已知两个平面相交的交线为L，则这两个平面法向量的叉乘，是L的一个方向向量
利用一般式：两个平面相交所得交线
利用参数方程（不常用）
直线三个方程之间的相互转化
- 直线的一般方程转换为点向式方程：利用两个平面的法向量求直线的方向向量，再通过解方程确定直线上一点
- 点向式转换为参数方程，直接参考直线方程的内容
- 点向式转换为一般方程看下图

题目1：点向式求直线方程

题目2：与平面相关的求直线方程

题目3：求切线和法线

对于求曲线的切线：都采用参数化法
- 当曲线为均能用一个变量表示，如下图问题1、2，那么就直接求导即可
- 当曲线为隐函数的时候，把x当做参数，分别求y关于x的导数，z关于x的导数，解方程得到两个导数
对于曲面的法线：都是参数化法
- 当曲面均能用一个变量表示，直接求导即可
- 直接将曲面方程当做关于x、y、z的多元函数，其x、y、z偏导的对应方程即为其对应法线方向向量的坐标方程

求直线与平面的交点

知识点

直线是点向式的情况：可以用参数方程求直线与平面的交点
直线是一般方程的情况：三个平面联立解方程得到交点

题目1：参数方程求交点

题目2：一般方程求交点

求投影问题

知识点

点到平面的投影：辅助直线法，利用平面法向量和点，得到过点且垂直于平面的一条直线，该直线与平面的交点就是点到平面上的投影
点到直线的投影：辅助垂面法，利用直线方向向量和点，得到过点且垂直于直线的一个平面，该平面与直线的交点就是点到直线上的投影
直线到平面的投影：
- 辅助平面法，利用直线的方向向量与平面的法向量叉乘得出辅助平面的法向量，再找一个交点得到辅助平面，辅助平面与平面相交即为投影线在面上的投影
- 辅助垂面法，利用平面束方程，求出过直线与平面垂直的平面，两平面的交线就是直线到平面上的投影