向量代数与空间解析几何

注：知识点的一些资料来源于网络，由于手打费时，而我做笔记主要是归纳题型，理清解题思路等等，敲知识点太慢了，就上网找了

向量及其线性运算

向量的概念

  1. 既有大小也有方向的量叫做向量‘。数学上通常用有向线段表示向量。

  2. 两个向量相等，它们的大小相等，且方向相同

  3. a⃗和b⃗的夹角，记作，(a,b)^,取值范围[0,π]\vec {a}和\vec {b}的夹角，记作，\widehat {(a,b)},取值范围[0,π]

  4. (a,b)^=0或(a,b)^=π，a⃗与b⃗平行\widehat {(a,b)}=0或\widehat {(a,b)}=π，\vec {a}与\vec {b}平行

  5. (a,b)^=π2，则a⃗与b⃗垂直\widehat {(a,b)}=\frac{π}{2}，则\vec {a}与\vec {b}垂直

  6. 单位向量：模等于1的向量是单位向量

向量的线性运算

向量加法

  1. 向量的加减法：三角形法则、平行四边形法则

  2. 向量加法满足交换律结合律

  3. 向量不等式：∣a⃗∣−∣b⃗∣≤∣a⃗−b⃗∣≤∣a⃗∣+∣b⃗∣向量不等式： |\vec {a}|-|\vec {b}|≤|\vec {a}-\vec {b}|≤|\vec {a}|+|\vec {b}|

向量数乘

  1. 向量数乘性质：结合律、分配律
  2. 两向量平行的充分必要条件

空间直角坐标系

  • 看书没啥好记的

利用坐标向量的线性运算

  1. 空间向量坐标加减法
  2. 空间向量平行坐标对应成比例
  3. 向量的定比分点公式

向量的模、方向角、投影

  • 有些是高中知识，但是有些符号定义与高中不一样

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image-202403150005244593. 向量的投影

  • 投影的定义

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  • 投影的性质

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数量积 向量积 混合积

两向量的数量积

两向量的向量积

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例题：

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平面及其方程

  • 平面的概念看一看

平面方程

  1. 点法式方程
  2. 一般式方程
  3. 截距式方程

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两平面的夹角

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平面束

  • **定义：**空间中通过同一直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，那条直线叫做平面束的轴

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已知两平面\\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\A_2x+B_2y+C_2Z+D_2=0 \\相交于交线l

过l的平面束就可以表示为\\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2Z+D_2)=0\\ 注意：这里的平面束缺少平面A_2x+B_2y+C_2Z+D_2=0

空间直线及其方程

空间直线的方程

  1. 空间直线的一般方程

设平面A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2Z+D2=0设平面A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 与A_2x+B_2y+C_2Z+D_2=0

直线l可看成两平面的交线，则方程为：

  1. 对称式方程

已知一个直线的方向向量直线上一点

则对称式为x−x0m=y−y0n=z−z0p=t则对称式为\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t

  1. 参数方程

在一个对称式方程中,x−x0m=y−y0n=z−z0p=t在一个对称式方程中,\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t

有

两直线的夹角

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直线与平面的夹角

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曲面及其方程

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空间曲面及其方程

  1. 一般方程
  2. 参数方程
  3. 二次曲面

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题型归纳

高等数学第八章归纳

基本概念和判断

向量的运算与性质

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向量的点乘运算

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平面与直线的方程

求平面的方程

知识点
  • 平面的方程的三种坐标表示（具体看前面知识点）
    • 点法式：已知平面的法向量和平面上一点（常用）
      • 平面上一条直线的方向向量垂直于平面的法向量（容易忘记该条件，在题目给出平面通过直线时要注意）
    • 一般式：通过待定系数法，注意x，y，z前面的系数与平面法向量的关系
      • 过原点的一般式表示
      • 过x轴或y轴或z轴一般式的表示
      • 平行x轴或平行y轴或平行z轴一般式的表示
    • 截距式：知道平面与三个坐标轴的截距
  • 使用平面束求平面方程(涉及到直线方程)
题目1：点法式求平面方程

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题目2：待定系数法求平面方程

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题目3：平面束求平面方程

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题目4：给出角度条件求平面方程

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题目5：与直线相关的求平面方程

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题目6：求切平面和法平面

  • 这个内容与涉及到多元函数的几何意义

  • 对于求曲线的法平面：都采用参数化法（与求切线和法线一样）

    • 当曲线为均能用一个变量表示，那么就直接求导即可
    • 当曲线为隐函数的时候，把x当做参数，分别求y关于x的导数，z关于x的导数，解方程得到两个导数

  • 对于曲面的切平面：

    • 当曲面均能用一个变量表示，那么就直接求导即可
    • 直接将曲面方程当做关于x、y、z的多元函数，其x、y、z偏导的对应方程即为其对应法向量的坐标方程

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求空间直线的方程

知识点

  • 利用点向式：直线上一点和直线方向向量

    • 已知两个平面相交的交线为L，则这两个平面法向量的叉乘，是L的一个方向向量

  • 利用一般式：两个平面相交所得交线

  • 利用参数方程（不常用）

  • 直线三个方程之间的相互转化

    • 直线的一般方程转换为点向式方程：利用两个平面的法向量求直线的方向向量，再通过解方程确定直线上一点
    • 点向式转换为参数方程，直接参考直线方程的内容
    • 点向式转换为一般方程看下图

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题目1：点向式求直线方程

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题目2：与平面相关的求直线方程

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题目3：求切线和法线
  • 对于求曲线的切线：都采用参数化法
    • 当曲线为均能用一个变量表示，如下图问题1、2，那么就直接求导即可
    • 当曲线为隐函数的时候，把x当做参数，分别求y关于x的导数，z关于x的导数，解方程得到两个导数
  • 对于曲面的法线：都是参数化法
    • 当曲面均能用一个变量表示，直接求导即可
    • 直接将曲面方程当做关于x、y、z的多元函数，其x、y、z偏导的对应方程即为其对应法线方向向量的坐标方程

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求直线与平面的交点

知识点
  • 直线是点向式的情况：可以用参数方程求直线与平面的交点
  • 直线是一般方程的情况：三个平面联立解方程得到交点
题目1：参数方程求交点
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题目2：一般方程求交点

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求投影问题

知识点

  • 点到平面的投影：辅助直线法，利用平面法向量和点，得到过点且垂直于平面的一条直线，该直线与平面的交点就是点到平面上的投影

  • 点到直线的投影：辅助垂面法，利用直线方向向量和点，得到过点且垂直于直线的一个平面，该平面与直线的交点就是点到直线上的投影

  • 直线到平面的投影：

    • 辅助平面法，利用直线的方向向量与平面的法向量叉乘得出辅助平面的法向量，再找一个交点得到辅助平面，辅助平面与平面相交即为投影线在面上的投影
    • 辅助垂面法，利用平面束方程，求出过直线与平面垂直的平面，两平面的交线就是直线到平面上的投影
题目1：点到平面的投影

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题目2：点到直线的投影
题目3：直线在平面上的投影直线

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对称问题

  • 对称问题在二维平面也属于是基础题

平面与直线的角

知识点
  • 平面与平面的夹角：思路是求两个法向量之间的夹角余弦，公式如图

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  • 直线与直线的夹角：思路是求两个方向向量的夹角余弦，公式如图

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  • 平面与直线的夹角：思路是求平面法向量和平面方向向量的夹角余弦，其值是平面与直线夹角的正弦

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题目1：求平面与平面的夹角

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​

题目2：求直线与直线的夹角

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题目3：求直线与平面的夹角

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平面与直线的距离

知识点
  • 点到平面的距离：思路就是求向量在法向量上的投影，公式是二维点到直线的距离上升一个维度

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  • 点到直线的距离：先求点在直线上的投影，再求两点距离即可。也可以套公式

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题目1：点到平面的距离

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题目2：点到直线的距离

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平移旋转问题