数论基础

• 整除与带余除法是数论的基础，贯穿整个数论，对应教材初等数论闵嗣鹤第四版，学习课程是按照这本书来的

• 但是上图的书太薄了，如果是硬看书的话还是看国外的这本书

• 对于个人的博客，顺序按照个人认为比较合理的顺序进行排序。

整除和带余除法

整除

• 这里先介绍一下整除的定义，然后一些整除的命题和定理也进行归纳。

定义：

• 先介绍一下整除的定义：

$$\begin {array}{l} 设 a，b∈Z，且 b≠0。\\ 若存在 q∈Z，有 a = qb，则称 b 是 a 的因数（或约数），或 a 是 b 的倍数，或 b 能整除 a，或 a 能被 b 整除。记作 b|a。\\ 若对任意的 q∈Z，有 a≠qb，则称 a 不能被 b 整除，记作 b∤a。\end {array}$$

命题：

命题 1：

$$\begin {array}{l} 设 a，b∈Z，且 b≠0，则有：\\1.~~ b|0 (即零是任何非零整数的倍数)\\2.~~1|a (即 1 是任何整数的因数)\\3. ~~ 当 a≠0 时，a|a (任何一个非 0 整数都是它自身的因数)\end {array}$$

命题 2：

$$\begin {array}{l} 设 a，b，s∈Z\\1. ~~ 若 b|a，则 b|as。\\2. ~~b|a 当且仅当 -b|a~~(即 a 的因数总是成对出现)。\\3. ~~b|a 当且仅当 b||a|~~(即 a 与 | a | 的所有因数相同)。\end {array}$$

命题 3：

$$\begin {array}{l} 1. ~~ 若 c|a，c∤b，则 c∤(a+b) 或 c∤(a-b)\\2. ~~ 若 b|a，c≠0，则 bc|ac，反之若 bc|ac，则 b|a\\3. ~~ 若 b|a，c|d 则 bc|ad\\4. ~~ 若 a=b+c，d|a，d|b，则 d|c\end {array}$$

命题 4：

$$\begin {array}{l} 1. 若 n 是正整数，a≠b, 则 a-b|(a^n-b^n)\\2. 若 n 是正奇数，a≠-b, 则 a+b|(a^n+b^n)\\3. 若 n 是正偶数，a≠-b, 则 a+b|(a^n-b^n)\end {array}$$

命题 5（重要）：

(a,b) 表示 a,b 两个数的最大公因数，[a,b] 表示 a,b 两个数的最小公倍数。

对于命题 5，这边先要介绍两个关于最小公倍数和最大公因数的定理。

定理 1：注意这里的 s、t 可以是正的也可以是负的

$$已知 (a,b)=x，则存在 s,t∈Z, 有 sa+tb=x$$

定理 2：

$$对于 [a,b] 和 (a,b)，满足关系:[a,b] = \frac {ab}{(a,b)}$$

命题 5 如下：

$$\begin {array}{l} 1. 若 c\mid ab 且 (b,c) = 1，则 c\mid a\\2. 若 b\mid a，c\mid a 且 (b，c)=1，则 bc\mid a\\3. 若 b\mid a，c\mid a 则 [b，c]\mid a\end {array}$$

定理：

定理 1(整除的传递性)：

$$设 a，b，c∈Z，b，c≠0，则若 b|a，c|b，则 c|a。$$

定理 2：

$$设 a，b∈Z，都是 m 的倍数，则 a+b 或 a-b 也是 m 的倍数。$$

定理 3：

$$设 a_1,a_2,......,a_n∈Z 都是 m 的倍数，q_1,q_2,......,q_n∈Z 则 q_1・a_1+q_2・a_2+......+q_n・a_n 也是 m 的倍数 \\ 即若 m|a_i (i=1,2,......,n),q_i∈z, 则 m|(q1・a1+......+q_n・a_n)$$

带余除法

• 带余除法的定义同时也是一个定理

• 所以这边先介绍一下带余除法的定义（定理）

$$设 a，b∈Z 且 b＞0，则存在唯一的两个整数 q 和 r，使得 a=bq+r\\ 其中 0≤r＜b$$

• 由这个定理可以得到一个推论即：这边将 b>0 替换成了 b≠0

$$设 a，b∈Z 且 b≠0，则存在唯一一对整数 q 和 r，使得 a=bq+r\\ 其中 0≤r＜ \left | b \right |$$

在上面的定理和推论中，q 叫做 a 被 b 除的不完全商，r 叫做 a 被 b 除的余数。

最大公因数与辗转相除法

例题

• 在介绍最大公因数与辗转相除法之前，先来介绍一下最大公因数的求法

题目 1：

​ 方法一：因数分解法

$$a=216=2^3*3^3\\b=128=2^7\\ 所以 (a,b)=2^3$$

​ 方法二：辗转相除法

$$216÷128=1・・・88\\128÷88=1・・・40\\88÷40=2・・・8\\40÷8=5・・・0\\ 所以最后 (a,b)=8\\\\ 还可以写成这样 \\216=128*1+88\\128=88*1+40\\88=40*2+8\\40=8*5+0\\ 所以 (a,b)=8$$

题目 2：

​ 这题只能使用辗转相除法，因为这俩个数都是质数。

$$983=547*1+436\\547=436*1+111\\436=111*3+103\\111=103*1+8\\103=8*12+7\\8=7*1+1\\7=1*7+0\\ 所以 (983,547)=1$$

题目 3：

​ 这题同样使用两种方法

​ 方法 1：

$$72=2^3*3^2\\48=2^4*3\\54=3^2*2*3\\ 所以 (72,48,54)=6$$

​ 方法 2：这题是 3 个数的最大公因数，使用辗转相除法，我们先要求其中俩个数的最大公因数，再将该数与第三个数求最大公因数。

$$72=48*1+24\\48=24*2+0\\(72,48)=24\\54=24*2+6\\24=6*4+0\\ 所以 (72,48,54)=6$$

最大公因数 1

• 接下来介绍一下最大公因数的定义

定义 1：

$$设整数 a_1,a_2,...,a_n 是 n (n≥2) 个整数 \\ 如果整数 d 是它们中每一个因数，则称 d 为 a_1,a_2,....a_n 的公因数。\\$$

定义 2：

$$整数 a_1,a_2,...,a_n 的公因数中最大的一个称为它们的最大公因数，\\ 记作 (a_1,a_2,...,a_n).$$

定义 3：

$$如果 (a_1,a_2,...,a_n)=1, 则称 a_1,a_2,...,a_n 互质或互素.\\ 如果 a_1,a_2,...,a_n 中任意两个整数互质，则称它们两两互质。$$

• 接下来是几个命题

命题 1：该命题讨论的是公因数存在性问题。

$$\begin {array}{l} a_1,a_2,...,a_n∈Z 的公因数必定存在 \\ 若 a_1,a_2,....,a_n 不全为零，则 (a_1,a_2,...a_n) 必定存在.\\ 当 a_1,a_2,....,a_n 不全为零时，(a_1,a_2,...,a_n)>0\end {array}$$

说明：

1. 该点说明，在理论证明的时候，我们只需要考虑不全为零的最大公因数
2. 在具体计算时，我们只考虑都不为零的整数的最大公因数
3. 两两互质蕴含互质，但反之不成立。

注解 1：这个命题可以做为最大公因数的一个证明方法

$$\begin {array}{l} 设 a_1,a_2,...,a_n 为 n 个不全为零的整数，则 (a_1,a_2,...,a_n)=d 当且仅当 \\(1) d\mid a_i (i=1,2,...,n);\\(2) 若 d' \mid a_i (i=1,2,...,n), 则 d'≤d.\end {array}$$

注解 2：该注解也给出了最大公因数的一个证明方法，本质上该方法是注解 1 得到的。

$$\begin {array}{l} d=(a_1,a_2,...,a_n) 当且仅当 \\(1) d\mid a_i (i=1,2,...,n);\\(2) 若 d'\mid a_i (i=1,2,...,n), 则 d'\mid d (d>0)\end {array}$$

在证明 d’=d 时就可以利用 d|d’,d’|d 以及，d，d‘＞0，即可得到 d=d’

命题 2:

$$若 b \mid a 且 a>0, 则 b≤a.$$

​ 通过这个命题，还有一个推论：

$$若 b\mid a 且 a≠0, 则 \mid b \mid ≤ \mid a\mid$$

• 接下来给出最大公因数的几个性质定理：

定理 1：由定理 1 就可以得到，如果要求一些数的公因数或者最大公因数，那么只要求这些数对应整数的公因数和最大公因数即可。

$$\begin {array}{l} 设 a_1,a_2,...,a_n 为 n 个不全为零的整数，则 \\(1) a_1,a_2,...,a_n 与 \left | a_1 \right |,\left | a_2 \right |,...,\left | a_n \right | 的公因数相同。\\(2)(a_1,a_2,...,a_n)=(\left | a_1 \right |,\left | a_2 \right |,...,\left | a_n \right |)\end {array}$$

定理 2：

$$\begin {array}{l} 若 b>0, 且 b∈Z，则:\\(1) 0 与 b 的公因数就是 b 的因数，反之，b 的因数也是 0 与 b 的公因数 \\(2)(0,b)=b\end {array}$$

定理 2 推论:

$$若 b≠0,b∈Z，则 (0,b)=\left | b \right |$$

辗转相除法

• 之前例题介绍了辗转相除法的具体过程，接下来介绍一下概念和具体定理。

定理 3（延续最大公因数的定理 1 和定理 2）:

$$设 a,b,c 是三个不全为零的整数，且 a=bq+c (q≠0), 则 a,b 与 b,c 有相同的公因数，从而有 (a,b)=(b,c)$$

定理 4：在介绍定理 4 之前先具体说一下辗转相除法。

$$设 a,b∈Z_+ 由带余除法：\\a=bq_1+r_1 (0≤r_1<b).\\ 若 r_1=0, 则 (a,b)=b,~~~~~ 若 r_1≠0, 则由定理 3,(a,b)=(b,r1)\\(r1≠0),b=r_1q_2+r_2 (0≤r_2＜r_1)\\ 若 r_2=0，则 (a,b)=(b,r_1)=r_1,~~~~ 若 r_2≠0, 则由定理 3,(a,b)=(b,r1)=(r_1,r_2)\\.........\\r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},~~~~~r_{n+1}=0\\ 则 (a,b)=(b,r_1)=...=(r_{n-1},r_n)=(r_n,r_{n+1})=(r_n,0)=r_n$$

从而引出定理 4：

$$若 a,b∈Z, 则 (a,b)=r_n$$

再利用最大公因数的定理 1，就可以将该式子转换为

$$若 a,b∈Z, 则 (a,b)=(\left | a \right |,\left | b \right |)=r_n$$

推论:

$$a,b 的公因数与它们的最大公因数 (a,b) 具有相同的因数。$$

最大公因数 2

• 接下来的定理就是一些最大公因数的运算性质了，这种运算性质可以进行抽象，抽象之后就是近世代数要研究的内容了。

定理 5: 定理 5 的运算性质就很想向量的内积的一些运算性质，可以进行类比记忆

$$\begin {array}{l} 设 a,b 是任意两个不全为零的整数，则 \\(1) 若 m∈Z_+，则 (ma,mb)=m (a,b);\\(2) 若 \delta 是 a，b 的一个公因数，则 (\frac {a}{\delta},\frac {b}{\delta} )=\frac {(a,b)}{\delta}\\ 特别地，(\frac {a}{(a,b)},\frac {b}{(a,b)})=1\end {array}$$

注解 4:

$$(a,b)=d 当且仅当存在唯一的一对互质的整数，a_1,b_1 使得 a=da_1,b=db_1$$

定理 6：就是例题中第 3 题所示的求三个数的最大公因数。由该定理就可以得到例题第 3 题的解法

$$\begin {array}{l} 设 a_1,a_2,...,a_n 是不全为零的整数 (可以假定它们都是正整数)，且 \\(a_1,a_2)=d_2,~~(d_2,a_3)=d_3~~,...,~~(d_{n-2},a_{n-1})=d_{n-1},(d_{n-1},a_{n})=d_n,\\ 则 (a_1,a_2,...,a_n)=d_n\end {array}$$

最大公因数 3

• 这里介绍一下最大公因数的进一步的性质。先来介绍一个定理，该定理比较重要，由该定理可以导出著名的裴蜀定理。

定理 1:

$$\begin {array}{l} 若 a,b∈Z_+, 则满足 Q_ka-P_kb=(-1)^{k-1} r_k~~(k=1,2,...,n)\\ 其中 \\P_0=1,P_1=q_1,P_k=q_kP_{k-1}+P_{k-2}\\Q_0=0,Q_1=1,Q_K=q_kQ_{k-1}+Q_{k-2}\\(k=2,3,...,n)\end {array}$$

推论 1: 上面定理引出的该推论就是著名的裴蜀定理。该定理在之前的证明中有使用过。

$$\begin {array}{l} 若 (a,b)=d, 则存在 s,t∈Z 有 as+bt=d.\end {array}$$

命题 1: 推理 1 的逆命题是不成立的，但是如果加了一些条件就会满足了。

$$\begin {array}{l} 设 a,b,d∈Z，d>0, 若存在 s,t∈Z, 有 as+bt=d, 且 d 是 a,b 的公因数，则 (a,b)=d.\end {array}$$

推论 2:

$$\begin {array}{l} 设 a,b∈Z, 则 (a,b)=1, 当且仅当存在 s,t∈Z，有 as+bt=1\end {array}$$

定理 2：

$$\begin {array}{l} 设 a,b,c∈Z 且 (a,c)=1，则 \\(1) ab,c 与 b,c 有相同的公因数 \\(2)(ab,c)=(b,c)\\ 这里 b,c 中至少有一个不为零 \end {array}$$

推论 3：

$$\begin {array}{l} 若 (a,b)=1,c\mid ab, 则 c\mid b\end {array}$$

推论 4：

$$\begin {array}{l} 设 a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_m 是两组整数 \\ 如果前一组的任意一个数与后一组中任意一个都互质，则 a_1a_2...a_n 与 b_1b_2...b_m 互质 \end {array}$$

• 这里来个例题：

• 接下来介绍一下其他推论、定理和命题

最小公倍数

• 接下来介绍一下最小公倍数的定义和几个性质定理

定义：

$$\begin {array}{l} 若 e 是所有 a_1,a_2,...,a_n 的倍数，则称 e 为 a_1,a_2,...,a_n 的公倍数 \\ 在所有公倍数中的最小正数，叫做 a_1,a_2,...,a_n 的最小公倍数，记为 [a_1,a2,...,a_n]\end {array}$$

注解: 由定义引出了证明最小公倍数的方法

$$\begin {array}{l}[a_1,a_2,...,a_n]=e 当且仅当 \\(1) a_i\mid e (i=1,2,...,n);\\(2) 若 a_i\mid e', 则 e≤e'\end {array}$$

定理 1：

$$\begin{array}{l}[a_1,a_2,...,a_n]=[\left | a_1 \right |,\left | a_2 \right |,...,\left | a_n \right |]\end{array}$$

定理 2：

$$\begin {array}{l} 设 a,b∈Z_+,\\(1) a,b 的所有公倍数就是 [a,b] 的所有倍数；\\(2)[a,b]= \frac {ab}{(a,b)},(或 [a,b](a,b)=ab.)\\ 特别地，若 (a,b)=1, 则 [a,b]=ab\end {array}$$

定理 3：

$$\begin {array}{l} 若 [a_1,a_2,a_3,...,a_n]=m,[a_1,a_2]=m_2,[m_2,a_3]=m_3,...[m_{n-1},a_n]=m_n, 则 m=m_n\end {array}$$

多项式带余除法

• 最小公倍数这边引出了多项式
• 下面给出多项式的定义并且引出多项式的带余除法

定义：

$$\begin {array}{l} 设 n∈Z_+,a_0,a_1,...,a_n∈R,a_n≠0, 则称 \\P (x)=a_nx^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1x+a_0\\ 为一个 n 次多项式，简称多项式。\end {array}$$

多项式带余除法

$$\begin {array}{l} 设 P (x),M (x) 是任意两个多项式，P (x) 的次数大于 M (x) 的次数，则存在唯一的一对多项式 Q (x),R (x) 使得 \\P (x)=M (x) Q (x)+R (x)\\ 其中 R (x) 的次数小于 M (x) 的次数 \end {array}$$

算数基本定理

质数和合数

• 质数和合数在数论中是非常重要的

定义 1：质数和合数的定义：

$$\begin {array}{l} 设 p 是一个大于 1 的整数，若它的正因数只有 1 及它本身，\\ 则称 p 为一个质数 (或素数), 否则称为合数。\end {array}$$

注 1：负数、0 和 1 既不是质数也不是合数。

推论 1：

$$\begin {array}{l} a 是合数当且仅当存在整数 1<a_1,a_2<a, 有 a=a_1*a_2\end {array}$$

• 介绍完定义后，接下来介绍一下质数和合数相关的定理

定理 1：

$$\begin {array}{l} 设 a 是大于 1 的整数，则 a 的除 1 外的最小正因数 p 一定是质数，并且当 a 为合数时，p≤\sqrt {a}\end {array}$$

定理 2：

$$\begin {array}{l} 设 a∈Z,p 是一个质数，则 p \mid a 或 (p,a)=1\end {array}$$

推论 2：

$$\begin {array}{l} 设 a_1,a_2,...,a_n∈Z,p 是质数 \\ 若 p\mid a_1a_2....a_n, 则 p 能整除某一个 a_i\end {array}$$

算数基本定理

定理 3：

$$\begin {array}{l} 任意大于 1 的整数都能表示为若干质数的乘积 \\ 即若 a>1, 则 a=p_1p_2...p_n,p1 \leq p_2 \leq ....\leq p_n, 其中 p_i 都是质数 \end {array}$$

推论 3：

$$\begin {array}{l} 设 a 是大于 1 的整数，则 a 能唯一地写为 a=p^{\alpha_1}_1p_{2}^{\alpha_2}....p_i^{\alpha_i}....p_k^{\alpha_k}\\ 其中 \alpha_i ＞0,i=1,2,3,...,k~ 且～p_i<p_j\\ 称上式为 a 的标准分解式.\end {array}$$

注解 1：对于推论 3，我们可以如下变形

$$\begin {array}{l} 在应用中，为方便计算，有时我们插进若干质数的零次幂，从而 a 可以表示为下面的形式 \\a = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}...p_l^{\alpha_l},\alpha_i \geq 0,i=1,2,3,...,l\end {array}$$

推论 4：

$$\begin {array}{l} 设 a 是大于 1 的整数，且 a=p^{\alpha_1}_1p_{2}^{\alpha_2}....p_i^{\alpha_i}....p_k^{\alpha_k}, 其中 \alpha_i ＞0,i=1,2,3,...,k\\ 则 a 的正因数 d 可以表示为如下形式:\\d=p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2}...p_l^{\beta_k},0\leq \beta_i\leq \alpha_i，i=1,2,3,...,k\\ 而且当 d 可以表示成上述形式时，d 是 a 的正因数 \end {array}$$

注解 2：对于推论 4，有如下结论

$$\begin {array}{l} 设 a = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k},\alpha_i > 0,i=1,2,3,...,k,\\ 则 a 的正因数的个数有 (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)(\alpha_3+1)・・・(\alpha_k+1) 个 \end {array}$$

取整函数 [x]

• 先来了解一下取整函数的定义

定义：

$$\begin {array}{l} 设 x∈R, 定义 [x] 等于不超过 x 的最大整数，称函数 [x] 为取整函数或高斯函数.\\ 另外也称 [x] 为 x 的整数部分，\{x\}=x-[x] 为 x 的小数部分 \end {array}$$

• 了解定义后对于取整函数有如下的基本性质

$$\begin {array}{l} 函数 [x]，{x} 具有下列性质:\\(1)~x = [x]+{x};\\(2)~[x]≤x＜[x]+1,~~~x-1＜[x]≤x,~~~0≤\{x\}＜1;\\(3)~ 设 n∈Z, 则 [n+x]=n+[x];\\(4)~[x]+[y]≤[x+y],~~~\{x\}+\{y\}≥\{x+y\}\\(5)~~~~[-x] =\begin {cases} -[x]-1, & \text {if } x ∉ Z, \\-[x], & \text {if } x ∈ Z.\end {cases}\\(6)~(带余除法) 设 a,b∈Z,b＞0, 则 \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a=b [\frac {a}{b}]+b\{\frac {a}{b}\},0≤b\{\frac {a}{b}\}≤b-1\\(7)~ 若 a,b∈Z_+, 则 b 的倍数中小于等于 a 的正整数的个数为 [\frac {a}{b}];\\(8)~ 若 x≤y, 则 [x]≤[y].\end {array}$$

• 现在来介绍一些相关定理，这些定理是可以用基本性质推导出来的。

定理 1：

$$\begin {array}{l} 在 n! 的标准分解式中素因数 p (p≤n) 的指数 h, 有:\\~~~~~~~~~~~~~h=[\frac {n}{p}]+[\frac {n}{p^2}]+....=\sum_{r=1}^\infty [\frac {n}{p^r}]\end {array}$$

推论 1：

$$\begin {array}{l} n!=\prod_{p≤m} p^{\sum_{r=1}^\infty [\frac {n}{p^r}]}\\ 其中 \prod_{p≤n} 表示展布在不超过 n 的一切素数上的乘积式.\end {array}$$

推论 2：

$$\begin {array}{l} 贾宪数 (组合数)\frac {n!}{k!(n-k)!}(0≤k≤n) 是整数，记作 C^k_n~ 或者记作 \binom {n}{k}\end {array}$$

推论 3：

$$\begin {array}{l} 若 f (x) 是一个 n 次整系数多项式，f^{(k)}(x)(k≤n) 是它的 k 阶导数，\\ 则 \frac {f^{(k)}(x)}{k!} 是一个 (n-k) 次整系数多项式.\end {array}$$

定理 2:

$$\begin {array}{l} 任何 k 个连续整数的乘积一定能被 k! 整除.\end {array}$$

不定方程

• 不定方程初高中都有接触过，接下来直接给出定义再给出几个例子。

定义 1：不定方程

$$\begin {array}{l} 未知数必须受到某种限制 (如整数，正整数或有理数等) 的方程，称为不定方程 \end {array}$$

例子

$$\begin {array}{l} 例 1:~~x^2+y^2=z^2, 其中 x,y,z 是正整数这就是一个不定方程 \\ 例 2:~~11x+5y=1028, 其中 x,y 是整数，这样也就是一个不定方程 \end {array}$$

二元一次不定方程

• 了解了不定方程之后，接下来看二元一次不定方程的定义

定义 2：二元一次不定方程

$$\begin {array}{l} 设 a,b,c∈Z,ab\neq0，则称式子 \\~~~~~~~~~~~~~~~~~ax+by=c\\ 为关于变量 x,y 的二元一次不定方程 \end {array}$$

• 了解了二元一次不定方程的概念之后，接下来一定是研究该方程如何解

定理 1：二元一次不定方程的通解

$$\begin {array}{l} 设二元一次不定方程:~~ax+by=c (a,b,c∈Z,ab\neq0)\\ 有一整数解 x=x_0,y=y_0, 且 (a,b)=d,~a=a_1d,~b=b_1d,\\ 则此不定方程的一切整数解可以表示为:\\x=x_0-b_1t,y=y_0+a_1t~~ 其中 t∈Z\end {array}$$

注意：该定理中的 (a1,b1)=1，具体参考最大公因数 2 的注解 4

证明

• 证明这个定理需要证明两个地方：

$$\begin {array}{l} 证明第一个地方:\\x=x_0-b_1t,y=y_0+a_1t~~ 一定是 ax+by=c 的解 \\ 证明第二个地方:\\ax+by=c 的整数解，总可以表示成 x=x_0-b_1t,y=y_0+a_1t\end {array}$$

• 证明过程如下：

$$\begin {array}{l} 证明 1: 将 x=x_0-b_1t,y=y_0+a_1t 代入 ax+by=c 可得 \\a (x_0-b_1t)+b (y_0+a_1t)\\=ax_0-ab_1t+by_0+a_1bt\\ \because ax_0+by_0=c\\ \therefore ax_0-ab_1t+by_0+a_1bt=c-ab_1t+a_1bt\\ 又知道 (a,b)=d,~a=a_1d,~b=b_1d\\ \therefore c-ab_1t+a_1bt\\=c+t (a_1b-ab_1)\\=c+t (a_1b_1d-a_1b_1d)\\=c\\ \therefore x=x_0-b_1t,y=y_0+a_1t~~ 一定是 ax+by=c 的解 \end {array}$$

$$\begin {array}{l} 证明 2: 设 \begin {cases} x=x_1 \\y=y_1\end {cases} 是 ax+by=c 的任意一个整数解 \end {array}$$