• 群、环、域，这三个都是近世代数的一些概念，而近世代数也被称为抽象代数。
  • 近世代数所研究的对象是代数系。对于整数加法运算，整数乘法运算、矩阵运算等，都是在研究某一特定集合的特定运算。
  • 而近世代数，就是将这些原本抽象的运算，再进一步的抽象出来，探究他们共同的运算性质和规律。
    • 整数加法：满足加法结合律、有逆元、有单位元。
    • 矩阵运算：特定集合下满足矩阵乘法、有单位矩阵、有逆矩阵
    • 近世代数将这些进行进一步抽象，得到了群、环、域（虽然矩阵乘法是半群）
  • 接下来就来介绍一下群

群的定义

  • 群中的最基本的概念就是这些，之后再由这些最基础的，才引申出对称群、四元数群、二面体群等等。
  • 所以先要来介绍一下最基本的群概念

image-20241126145639144

群和半群

  • 群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。
  • 首先明确一点：群是建立在集合之上的，满足一定运算条件的集合才会被称为群。
  • 其次再注意：群定义中的乘法运算并不是我们常用的乘法运算，它只是运算的一个代表，了解了群之后我们根据定义可以得到整数加法（运算符为：+）构成一个群，此时乘法符号：（·）就会变成加法符号了。具体再深入理解即可。
  • 这里先来介绍半群的概念

半群的定义：

设G是一个非空集合，若在G上定义一个乘法运算·满足以下四个条件，则G被称为群。

  1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
  2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c
  • 接下来再引出群的概念

群的定义：

设G是一个非空集合，若在G上定义一个乘法运算·满足以下四个条件，则G被称为群。

  1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
  2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c
  3. 单位元：在G中有一个元素e（左单位元），对于G中任意元素a，有e·a=a
  4. 逆元：对于G中任意元素a都存在G中的一个元素b（左逆元），有b·a=e
  • 通常群的这种代数结构，我们用(G,·)这种形式来表示，G是一个集合，·是一个运算符
    • 比如整数加法群：（Z，+）
    • 去零整数乘法群：（Z/{0}，·）

其他群

  • 群和半群是群中俩个最基本的概念，还有一些群接下来再来说明一下

  • 如果半群中存在单位元，则就被称为含幺（yao）半群(monoid)

含幺半群的定义：

  1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
  2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c
  3. 单位元：在G中有一个元素e（左单位元），对于G中任意元素a，有e·a=a
  • 而阿贝尔群则是在群的定义上多出了交换律

设G是一个非空集合，若在G上定义一个乘法运算·满足以下四个条件，则G被称为群。

  1. 封闭性：G关于运算（·）是封闭的，即对于G中任意元素a，b有a·b∈G
  2. 结合律：G对于运算（·），集合律成立，即对于S中任意元素a，b，c，有a·(b·c)=(a·b)·c
  3. 单位元：在G中有一个元素e（左单位元），对于G中任意元素a，有e·a=a
  4. 逆元：对于G中任意元素a都存在G中的一个元素b（左逆元），有b·a=e
  5. 交换律：对任何a，b∈G有a·b=b·a
  • 这里也顺带提一下有限群和无限群：
    • 有限群：群G如果是有限集，那么就被称为有限群。
    • 无限群：群G如果是无限集，那么就被称为无限群。

阶段习题1

  • 近世代数这部分还是比较偏抽象，逻辑性高的，所以里面的题目都是证明题为主。而了解了群的定义后基本上就是根据定义去证明某个集合加运算是不是群或者半群。包括接下来学的群的定义也一样是证明群。

  • 这里找几题书上的例题和练习证明（学习过程中最好是先看看概念和例题，然后动手写纸上证明，要是不闲麻烦可以将证明再写到博客上，或者直接截图。）

image-20241126154726998

群定义的性质定理

单位元和逆元的性质

  • 对于单位元，单位元被分为左单位元和右单位元

左、右单位元：

设是一个半群（G，·）

左单位元

右单位元

群的性质