群只是在一个集合中定义了一种代数运算，而环是群的进一步深入，在一个集合中定义了两种代数运算。

环的介绍

模m剩余类环，环的运算、整数环、零因子、无零因子环、平凡子环

环的定义

这里来介绍一下环的定义

环的定义：
$\begin{array}{l} 设R是一个非空集合，在R上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为+和·,如果R具有如下性质：\\ (1)R对于加法是一个交换群\\ (2)R对于乘法是封闭的\\ (3)乘法满足结合律，即对于任意a、b、c∈R，有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b·c)=(a·b)·c\\ (4)分配律，即对于任意a、b、c∈R有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b+c)=a·b+a·c\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(b+c)·a=b·a+c·a\\ 则称(R,+,·)为一个环 \end{array}$
注意：这里乘法关于加法的左分配律成立，并不能推出右分配律成立，所以分配率要满足左右分配律都成立、

交换环的定义：在满足环的定义上，乘法还满足交换律就被称为交换环
$\begin{array}{l} 设R是一个非空集合，在R上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为+和·,如果R具有如下性质：\\ (1)R对于加法是一个交换群\\ (2)R对于乘法是封闭的\\ (3)乘法满足结合律，即对于任意a、b、c∈R，有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b·c)=(a·b)·c\\ (4)分配律，即对于任意a、b、c∈R有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b+c)=a·b+a·c\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(b+c)·a=b·a+c·a\\ (5)乘法满足交换率,即有：\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·b=b·a\\ 则称(R,+,·)为一个交换环 \end{array}$

环的性质

零因子环和环的分类

这里先介绍零因子环，然后从而导出环的分类

零因子环：
$\begin{array}{l} 设R是一个环,a,b是R中的两个非零元,如果ab=0 \end{array}$

整环、除环与域

这里在了解环和交换环的定义后，再来了解整环与除环，最后再初步了解一下域。
这里还有些概念有限除环、有限域、子除环、子域

整环：
$\begin{array}{l} 如果一个环R满足下列条件：\\ (1)R是交换环\\ (2)存在单位元，且1≠0;(即零因子不是单位元。)\\ (3)没有零因子。\\ 满足这三个条件，则R称为整环。 \end{array}$
除环：
$\begin{array}{l} 如果一个环R存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法群，则R称为除环。 \end{array}$
域：域的定义有两种形式
$\begin{array}{l} 第一种形式如下：\\ 一个交换除环称为一个域\\ ~\\ 第二种形式如下:\\ 如果环F存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法交换群，则F称为一个域 \end{array}$

环的同态和理想

环的同态、同构、单同态、满同态、零同态、左理想、右理想、理想、零理想、单位理想、平凡理想、真理想。
生成理想、生成元素、有限生成理想、主理想
环的同态和同构与群的同态和同构稍微有区别。

环的同态：
$\begin{array}{l} (R,+,·)和(R',\odot,\otimes)是两个环，如果存在R到R'的一个映射，\\ 加法和乘法都在f下得到保持，即对于任意a、b∈R，\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(ab)=f(a)f(b)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(a+b)=f(a)+f(b)\\ 则称f是R到R'的同态映射，或简称同态。 \end{array}$
环的同构：
$\begin{array}{l} 如果f是一一映射，则乘f是同构(映射),此时称(R,+,·)和(R',\odot,\otimes)同构，并用R≌R’表示 \end{array}$
特别地：
$\begin{array}{l} (1)如果f是单射，则称f是单同态\\ (2)如果f是满射，则称f是满同态 \end{array}$

由环的同态与同构，从而引出理想。

理想的定义：

左理想：
$\begin{array}{l} 设I是环R的加法子群。如果对于任意r∈R和a∈I，都有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ra∈I\\ 则称I是R的一个左理想。\\ \end{array}$
右理想：
$\begin{array}{l} 如果对于任意r∈R和a∈I，都有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ar∈I\\ 则称I是R的一个右理想 \end{array}$
理想：
$\begin{array}{l} 当I同时是左理想和右理想时，称为理想 \end{array}$