- 群只是在一个集合中定义了一种代数运算,而环是群的进一步深入,在一个集合中定义了两种代数运算。
环的介绍
- 模m剩余类环,环的运算、整数环、零因子、无零因子环、平凡子环
环的定义
环的定义:
设R是一个非空集合,在R上定义了加法和乘法两种代数运算,分别记为+和⋅,如果R具有如下性质:(1)R对于加法是一个交换群(2)R对于乘法是封闭的(3)乘法满足结合律,即对于任意a、b、c∈R,有 a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c(4)分配律,即对于任意a、b、c∈R有 a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a则称(R,+,⋅)为一个环
注意:这里乘法关于加法的左分配律成立,并不能推出右分配律成立,所以分配率要满足左右分配律都成立、
交换环的定义:在满足环的定义上,乘法还满足交换律就被称为交换环
设R是一个非空集合,在R上定义了加法和乘法两种代数运算,分别记为+和⋅,如果R具有如下性质:(1)R对于加法是一个交换群(2)R对于乘法是封闭的(3)乘法满足结合律,即对于任意a、b、c∈R,有 a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c(4)分配律,即对于任意a、b、c∈R有 a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a(5)乘法满足交换率,即有: a⋅b=b⋅a则称(R,+,⋅)为一个交换环
环的性质
零因子环和环的分类
零因子环:
设R是一个环,a,b是R中的两个非零元,如果ab=0
整环、除环与域
- 这里在了解环和交换环的定义后,再来了解整环与除环,最后再初步了解一下域。
- 这里还有些概念有限除环、有限域、子除环、子域
整环:
如果一个环R满足下列条件:(1)R是交换环(2)存在单位元,且1=0;(即零因子不是单位元。)(3)没有零因子。满足这三个条件,则R称为整环。
除环:
如果一个环R存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法群,则R称为除环。
域:域的定义有两种形式
第一种形式如下:一个交换除环称为一个域 第二种形式如下:如果环F存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法交换群,则F称为一个域
环的同态和理想
环的同态:
(R,+,⋅)和(R′,⊙,⊗)是两个环,如果存在R到R′的一个映射,加法和乘法都在f下得到保持,即对于任意a、b∈R, f(ab)=f(a)f(b) f(a+b)=f(a)+f(b)则称f是R到R′的同态映射,或简称同态。
环的同构:
如果f是一一映射,则乘f是同构(映射),此时称(R,+,⋅)和(R′,⊙,⊗)同构,并用R≌R’表示
特别地:
(1)如果f是单射,则称f是单同态(2)如果f是满射,则称f是满同态
理想的定义:
左理想:
设I是环R的加法子群。如果对于任意r∈R和a∈I,都有 ra∈I则称I是R的一个左理想。
右理想:
如果对于任意r∈R和a∈I,都有 ar∈I则称I是R的一个右理想
理想:
当I同时是左理想和右理想时,称为理想
商环、素理想和最大理想
多项式环
- 多项式环、多项式剩余类环
- 带余除法从数扩展到多项式