• 群只是在一个集合中定义了一种代数运算，而环是群的进一步深入，在一个集合中定义了两种代数运算。

环的介绍

  • 模m剩余类环，环的运算、整数环、零因子、无零因子环、平凡子环

环的定义

  • 这里来介绍一下环的定义

环的定义：
$$
\begin{array}{l}
设R是一个非空集合，在R上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为+和·,如果R具有如下性质：\
(1)R对于加法是一个交换群\
(2)R对于乘法是封闭的\
(3)乘法满足结合律，即对于任意a、b、c∈R，有\

(4)分配律，即对于任意a、b、c∈R有\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b+c)=a·b+a·c\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(b+c)·a=b·a+c·a\\
则称(R,+,·)为一个环
\end{array}
$$
**注意**：这里乘法关于加法的左分配律成立，并不能推出右分配律成立，所以分配率要满足左右分配律都成立、



**交换环的定义**：在满足环的定义上，乘法还满足交换律就被称为交换环
$$
\begin{array}{l}
设R是一个非空集合，在R上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为+和·,如果R具有如下性质：\\
(1)R对于加法是一个交换群\\
(2)R对于乘法是封闭的\\
(3)乘法满足结合律，即对于任意a、b、c∈R，有\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b·c)=(a·b)·c\\
(4)分配律，即对于任意a、b、c∈R有\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b+c)=a·b+a·c\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(b+c)·a=b·a+c·a\\
(5)乘法满足交换率,即有：\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·b=b·a\\
则称(R,+,·)为一个交换环
\end{array}
$$

环的性质

零因子环和环的分类

  • 这里先介绍零因子环，然后从而导出环的分类

零因子环：
$$
\begin{array}{l}
设R是一个环,a,b是R中的两个非零元,如果ab=0
\end{array}
$$

整环、除环与域

  • 这里在了解环和交换环的定义后，再来了解整环与除环，最后再初步了解一下域。
  • 这里还有些概念有限除环、有限域、子除环、子域

整环：
$$
\begin{array}{l}
如果一个环R满足下列条件：\
(1)R是交换环\
(2)存在单位元，且1≠0;(即零因子不是单位元。)\
(3)没有零因子。\
满足这三个条件，则R称为整环。
\end{array}
$$
除环：
$$
\begin{array}{l}
如果一个环R存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法群，则R称为除环。
\end{array}
$$

域：域的定义有两种形式
$$
\begin{array}{l}
第一种形式如下：\
一个交换除环称为一个域\
~\
第二种形式如下:\
如果环F存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法交换群，则F称为一个域
\end{array}
$$

环的同态和理想

  • 环的同态、同构、单同态、满同态、零同态、左理想、右理想、理想、零理想、单位理想、平凡理想、真理想。

  • 生成理想、生成元素、有限生成理想、主理想

  • 环的同态和同构与群的同态和同构稍微有区别。

环的同态：
$$
\begin{array}{l}
(R,+,·)和(R’,\odot,\otimes)是两个环，如果存在R到R’的一个映射，\
加法和乘法都在f下得到保持，即对于任意a、b∈R，\

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(a+b)=f(a)+f(b)\\
则称f是R到R'的同态映射，或简称同态。
\end{array}
$$
**环的同构**：
$$
\begin{array}{l}
如果f是一一映射，则乘f是同构(映射),此时称(R,+,·)和(R',\odot,\otimes)同构，并用R≌R’表示
\end{array}
$$


**特别地**：
$$
\begin{array}{l}
(1)如果f是单射，则称f是单同态\\
(2)如果f是满射，则称f是满同态
\end{array}
$$
  • 由环的同态与同构，从而引出理想。

理想的定义：

​ 左理想：
$$
\begin{array}{l}
设I是环R的加法子群。如果对于任意r∈R和a∈I，都有\

则称I是R的一个左理想。\\
\end{array}
$$
​	**右理想**：
$$
\begin{array}{l}
如果对于任意r∈R和a∈I，都有\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ar∈I\\
则称I是R的一个右理想
\end{array}
$$
​	**理想**：
$$
\begin{array}{l}
当I同时是左理想和右理想时，称为理想
\end{array}
$$

商环、素理想和最大理想

  • 商环、自然同态、素理想、极大理想

多项式环

  • 多项式环、多项式剩余类环
  • 带余除法从数扩展到多项式