• 群只是在一个集合中定义了一种代数运算,而环是群的进一步深入,在一个集合中定义了两种代数运算。

环的介绍

  • 模m剩余类环,环的运算、整数环、零因子、无零因子环、平凡子环

环的定义

  • 这里来介绍一下环的定义

环的定义

R是一个非空集合,在R上定义了加法和乘法两种代数运算,分别记为+,如果R具有如下性质:(1)R对于加法是一个交换群(2)R对于乘法是封闭的(3)乘法满足结合律,即对于任意abcR,有                    a(bc)=(ab)c(4)分配律,即对于任意abcR                    a(b+c)=ab+ac                    (b+c)a=ba+ca则称(R,+,)为一个环\begin{array}{l} 设R是一个非空集合,在R上定义了加法和乘法两种代数运算,分别记为+和·,如果R具有如下性质:\\ (1)R对于加法是一个交换群\\ (2)R对于乘法是封闭的\\ (3)乘法满足结合律,即对于任意a、b、c∈R,有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b·c)=(a·b)·c\\ (4)分配律,即对于任意a、b、c∈R有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b+c)=a·b+a·c\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(b+c)·a=b·a+c·a\\ 则称(R,+,·)为一个环 \end{array}

注意:这里乘法关于加法的左分配律成立,并不能推出右分配律成立,所以分配率要满足左右分配律都成立、

交换环的定义:在满足环的定义上,乘法还满足交换律就被称为交换环

R是一个非空集合,在R上定义了加法和乘法两种代数运算,分别记为+,如果R具有如下性质:(1)R对于加法是一个交换群(2)R对于乘法是封闭的(3)乘法满足结合律,即对于任意abcR,有                    a(bc)=(ab)c(4)分配律,即对于任意abcR                    a(b+c)=ab+ac                    (b+c)a=ba+ca(5)乘法满足交换率,即有:                    ab=ba则称(R,+,)为一个交换环\begin{array}{l} 设R是一个非空集合,在R上定义了加法和乘法两种代数运算,分别记为+和·,如果R具有如下性质:\\ (1)R对于加法是一个交换群\\ (2)R对于乘法是封闭的\\ (3)乘法满足结合律,即对于任意a、b、c∈R,有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b·c)=(a·b)·c\\ (4)分配律,即对于任意a、b、c∈R有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·(b+c)=a·b+a·c\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(b+c)·a=b·a+c·a\\ (5)乘法满足交换率,即有:\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a·b=b·a\\ 则称(R,+,·)为一个交换环 \end{array}

环的性质

零因子环和环的分类

  • 这里先介绍零因子环,然后从而导出环的分类

零因子环

R是一个环,a,bR中的两个非零元,如果ab=0\begin{array}{l} 设R是一个环,a,b是R中的两个非零元,如果ab=0 \end{array}

整环、除环与域

  • 这里在了解环和交换环的定义后,再来了解整环与除环,最后再初步了解一下域。
  • 这里还有些概念有限除环、有限域、子除环、子域

整环

如果一个环R满足下列条件:(1)R是交换环(2)存在单位元,且10;(即零因子不是单位元。)(3)没有零因子。满足这三个条件,则R称为整环。\begin{array}{l} 如果一个环R满足下列条件:\\ (1)R是交换环\\ (2)存在单位元,且1≠0;(即零因子不是单位元。)\\ (3)没有零因子。\\ 满足这三个条件,则R称为整环。 \end{array}

除环

如果一个环R存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法群,则R称为除环。\begin{array}{l} 如果一个环R存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法群,则R称为除环。 \end{array}

:域的定义有两种形式

第一种形式如下:一个交换除环称为一个域 第二种形式如下:如果环F存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法交换群,则F称为一个域\begin{array}{l} 第一种形式如下:\\ 一个交换除环称为一个域\\ ~\\ 第二种形式如下:\\ 如果环F存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法交换群,则F称为一个域 \end{array}

环的同态和理想

  • 环的同态、同构、单同态、满同态、零同态、左理想、右理想、理想、零理想、单位理想、平凡理想、真理想。

  • 生成理想、生成元素、有限生成理想、主理想

  • 环的同态和同构与群的同态和同构稍微有区别。

环的同态

(R,+,)(R,,)是两个环,如果存在RR的一个映射,加法和乘法都在f下得到保持,即对于任意abR                               f(ab)=f(a)f(b)                               f(a+b)=f(a)+f(b)则称fRR的同态映射,或简称同态。\begin{array}{l} (R,+,·)和(R',\odot,\otimes)是两个环,如果存在R到R'的一个映射,\\ 加法和乘法都在f下得到保持,即对于任意a、b∈R,\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(ab)=f(a)f(b)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(a+b)=f(a)+f(b)\\ 则称f是R到R'的同态映射,或简称同态。 \end{array}

环的同构

如果f是一一映射,则乘f是同构(映射),此时称(R,+,)(R,,)同构,并用RR’表示\begin{array}{l} 如果f是一一映射,则乘f是同构(映射),此时称(R,+,·)和(R',\odot,\otimes)同构,并用R≌R’表示 \end{array}

特别地

(1)如果f是单射,则称f是单同态(2)如果f是满射,则称f是满同态\begin{array}{l} (1)如果f是单射,则称f是单同态\\ (2)如果f是满射,则称f是满同态 \end{array}

  • 由环的同态与同构,从而引出理想。

理想的定义

左理想

I是环R的加法子群。如果对于任意rRaI,都有                                             raI则称IR的一个左理想。\begin{array}{l} 设I是环R的加法子群。如果对于任意r∈R和a∈I,都有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ra∈I\\ 则称I是R的一个左理想。\\ \end{array}

右理想

如果对于任意rRaI,都有                     arI则称IR的一个右理想\begin{array}{l} 如果对于任意r∈R和a∈I,都有\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ar∈I\\ 则称I是R的一个右理想 \end{array}

理想

I同时是左理想和右理想时,称为理想\begin{array}{l} 当I同时是左理想和右理想时,称为理想 \end{array}

商环、素理想和最大理想

  • 商环、自然同态、素理想、极大理想

多项式环

  • 多项式环、多项式剩余类环
  • 带余除法从数扩展到多项式