对于前面的矩阵和行列式的研究，已经研究出了线性方程组如果有唯一解，那么就有 $det(\mathbf{A})≠0$ $d e t (A) \neq = 0$ 。但是这个研究结果并不令人满意。存在一下两点：
- 当 $det(\mathbf{A})=0$ ，那么线性方程组就有两种情况，无解或者有无穷多个解，但是无法分辨出来具体是哪种情况。
- 在多数情况下方程组的未知数个数与方程的个数是不一样的，这种情况无法使用行列式判断。
上面这两个问题就使得还需要研究与完善这个规律，就需要从单个方程出发，这里就引入了用一个向量表示一个方程，所以除了高中学的向量的普遍意义之外，向量还用来表示方程的系数。比如下面的线性方程组中 $x_1$ 的系数就可以用一个列向量表示：

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &= b_2\\ ~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots&~~~~~~\vdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n&=b_s \end{cases} \Rightarrow\vec{a}= \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ... \\ a_{s1} \end{pmatrix}

向量与线性空间

规定向量的运算：

取定数域 $K$ ，设n是任意给定的正整数。令 $K^{n}=\{(a_1,a_2,...,a_n)|a_i\in K,i,1,2,...,n\}$ 。

如果 $a_1=b_1,a_2=b_2,...,a_n=b_n$ ，则称 $K^{n}$ 中的两个元素： $(a_1,a_2,...,a_n)$ 与 $(b_1,b_2,...,b_n)$ 相等

在 $K^{n}$ 中加法的运算， $(a_1,a_2,...,a_n)+(b_1,b_2,...,b_n)\stackrel{\mathrm{def}}{=} (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$

在 $K^{n}$ 中数乘运算， $k(a_1,a_2,...,a_n)\stackrel{\mathrm{def}}{=}(ka_1,ka_2,...,ka_3)$

由以上三种运算的定义或者由初等行变换可以推导出下面8条运算性质，其中加法有四条，数乘也有四条：

$\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=\mathbf{\beta}+\mathbf{\alpha}$

$(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})+\mathbf{\gamma}=\mathbf{\alpha}+(\mathbf{\beta}+\mathbf{\gamma})$

把元素(0,0,...,0)记作 $\mathbf{0}$ 称为零向量，它使得： $\mathbf{0}+\mathbf{\alpha}=\mathbf{\alpha}+\mathbf{0}=\mathbf{\alpha}$

对于 $\mathbf{\alpha}=(a_1,a_2,...,a_n)\in K^{n}$ 令， $-\mathbf{\alpha}\stackrel{\mathrm{def}}=(-a_1,-a_2,...,a_n)\in K^{n}$ ，则有 $\mathbf{\alpha}+(-\mathbf{\alpha})=(-\mathbf{\alpha)}+\mathbf{\alpha}=\mathbf{0}$ ，称 $-\mathbf{\alpha}$ 是 $\alpha$ 的负元

$1\mathbf{\alpha}=\mathbf{\alpha}$

$(kl)\mathbf{\alpha}=k(l\mathbf{\alpha})$

$(k+l)\mathbf{\alpha}=k\mathbf{\alpha}+l\mathbf{\alpha}$

$k(\mathbf{\alpha+\beta})=k\mathbf{\alpha}+k\mathbf{\beta}$

满足这8条运算性质的还有如下：

平面上以定点O为起点的所有向量组成的集合

直线上以定点O为起点的所有向量组成的集合

空间中以定点O为起点的所有向量组成的集合

数学最基本的两个概念集合和映射。

集合：

映射：若一个对应法则 $f:A\rightarrow B$ ，有A中的每个元素A，都对应着B中的唯一的一个元素b，则称 $f$ 是A到B的一个映射。

b被称为a在 $f$ 映射下的像；a被称为b在 $f$ 映射下的一个原像

A被称为定义域domain，B被称为陪域codomain

$f$ 的值域(或者被称为像，像集)， $f(A):=\{f(a)|a\in A\}$ ，也记作Imf

若 $f(A)=B$ ，则 $f$ 称为一个满射,若A中不同元素在 $f$ 上的像不同，则称 $f$ 是单射。

如果 $f$ 即是单射，又是满射，f称为一个双射（或一一对应）

运算：

$2+3=5$ ，其实就是有序整数对 $(2,3)\rightarrow 5$

$2*3=6$ ，其实就是有序整数对 $(2,3)\rightarrow 6$

$S×M:=\{(a,b)|a\in S,b\in M\}$ ，称为S与M的笛卡尔积。

运算的定义：非空集合 $S$ 上的一个代数运算，是指 $S×S$ 到 $S$ 的一个映射。

定义1：向量、向量空间的定义。

数域K上所有n元有序数组组成的集合 $K^{n}$ ，连同定义在它上面的加法运算和数量数乘运算，及其满足的8条运算法则一起，称为数域K上的一个n维向量空间。 $K^{n}$ 的元素称为n维向量，设向量 $\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)$ ，称 $a_i$ 是 $\alpha$ 的第i个分量。通常用小写的希腊字母 $\alpha、\beta、\gamma、...$ 表示向量。

定义2：线性空间，将满足上面8条运算的事物抽象出来，建立了线性空间的模型。

设 $V$ 是一个非空集合， $K$ 是一个数域，如果 $V$ 上有一个运算，称为加法，即 $(\alpha,\beta)\rightarrow\alpha+\beta$ ；

$K$ 与 $V$ 之间的运算，称为数乘，即 $K×V\rightarrow V:(k,\alpha)\rightarrow k\alpha$

满足下述8条运算集合，则称为V是数域K上的一个线性空间

$\alpha+\beta=\beta+\alpha,\forall \alpha,\beta\in V$ ，加法交换律

$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma),\forall \alpha,\beta,\gamma\in V$ ，加法结合律

$V$ 中有一个元素，记作 $\mathbf{0}$ ，则有下面性质，则把 $\mathbf{0}$ 称为V的零元。 $\alpha + 0=\alpha,\forall \alpha \in V$

对于 $\alpha \in V$ ，有 $\beta \in V$ ，使得 $\alpha + \beta = 0$ ，把 $\beta$ 称为 $\alpha$ 的负元

$1\alpha=\alpha,\forall \alpha \in V$

$(kl)\alpha = k(l\alpha),\forall k,l \in K,\alpha\in V$

$(k+l)\alpha=k*\alpha+l*\alpha,\forall k,l\in K,\alpha \in V$

$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta,\forall k\in K,\alpha,\beta \in V$

所以向量 $K^{n}:=\{(a_1,a_2,...,a_n)|a_i\in K,i=1,2,...,n\}$ 被称为数域K上的线性空间，通常称为数域 $K$ 上的n维向量空间。

实际上借用几何语言，线性空间的元素称为一个向量，线性空间也可以称为向量空间

线性空间的性质

点动成线、线动成面、面动成体，所以集合空间中的基本元素是点。但是点与点之间有什么运算呢？所以高中引入了向量，以及向量的坐标。任意选定一个固定点 $O$ ，就可以使用以 $O$ 为起点的向量一一对应， $O$ 点本身就是零向量。这样其实就给出了几何空间的定义。

例子1：几何空间的定义

以定点 $O$ 为起点的所有向量，构成了几何空间，满足8条运算所以是一个线性空间。

例子2：

$K^{n}:=\{(a_1,a_2,...,a_n)|a\in K,i=1,2,...,n\}$ ，n维向量也满足8条运算性质

例子3：

非空集合 $X$ 到 $\R$ 的映射，称为函数，集合 $X$ 不要求一定是数。称为 $X$ 上的一个实值函数。记为 $\R^{X}:=\{非空集合X到\R的映射\}$

线性空间的性质：

通过这样的例子，抽象出共同点，得到线性空间。现在假定 $V$ 是数域K上的线性空间，则归纳出以下线性空间的性质：

$V$ 的零元唯一。

每个 $\alpha \in V$ 的负元唯一，将 $\alpha$ 的负元记作 $-\alpha$

$0\alpha=\mathbf{0}$

$k\mathbf{0}=\mathbf{0}$

若 $k\alpha=0$ ，则 $k=0$ 或 $\alpha=\mathbf{0}$

$(-1)\alpha=-\alpha,\forall \alpha \in V$

$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$

线性子空间

定义1：线性子空间

设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $U$ 是 $V$ 的一个非空子集，如果 $U$ 对 $V$ 的加法和数量乘法，也成为数域 $K$ 上的一个线性空间，则称 $U$ 是 $V$ 的一个(线性)子空间。

定义2：

对于定理1中的eg2来说， $W$ 对于 $V$ 的加法，数量乘法封闭，因此 $W$ 是 $V$ 的子空间，像这样的子空间，称它是由向量组 $\alpha_1,....,\alpha_s$ 生成的子空间记作 $<\alpha_1,...,\alpha_s>$ 或 $L(\alpha_1,...,\alpha_s)$

定义3：线性表出
$\beta\in<\alpha_1,...,\alpha_s>\Longleftrightarrow$ 存在 $K$ 中的一组数 $l_1,...,l_s$ 使得 $\beta=l_1\alpha_1+...+l_s\alpha_s$ ，此时称 $\beta$ 可以由向量 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性表出

定理1：线性子空间的充要条件：

$V$ 的非空子集 $U$ 是子空间：

若 $\alpha,\beta \in U$ ，则 $\alpha+\beta \in U$ （U对于V的加法封闭）

若 $\alpha \in U,k\in K$ ，则 $k\alpha \in U$ （U对于V的数乘封闭）

eg1： $\{0\}$ 是V的子空间

eg2：向量组 $W=\{k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s|k_1,..,k_s\in K\}$ 称为向量组 $\alpha_1,...,\alpha_k$ 的一个线性组合,也是一个V的子空间。

向量与线性方程组

通过介绍一些有关于向量的概念，现在就要回到用向量研究线性方程组的解的问题上。现在先来解决用向量如何表示线性方程组的常数和系数。

如下图所示的个向量的线性方程组，我们可以使用一个列向量来表示方程组中每个方程中相同未知数的系数。

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &= b_2\\ ~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots&~~~~~~\vdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n&=b_s \end{cases}

对于那么对于上面这个方程组，分别使用列向量 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 表示相同未知数前面的系数的集合，使用 $\beta$ 表示常数，那么方程组就可以使用向量更简单的表示出来：

$\alpha_1=\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ... \\ a_{s1} \end{pmatrix},...., \alpha_n=\begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ ... \\ a_{sn} \end{pmatrix} ,\beta=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{s} \end{pmatrix} \\ \\ x_1\alpha_1+.....+x_n\alpha_n=\beta$
- 那么方程组 $x_1\alpha_1+.....+x_n\alpha_n=\beta$ 有解
- $\Longleftrightarrow$ 有 $K$ 中的一组数 $c_1,...,c_n$ ，使得 $c_1\alpha_1+...+c_n\alpha_n=\beta$
- $\Longleftrightarrow\beta$ 可以由列向量组 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 线性表出
- $\Longleftrightarrow\beta\in<\alpha_1,...,\alpha_n>$
- 所以本章任务：研究线性空间和它的子空间的结构

定义1：线性相关与线性无关

设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间， $V$ 中的一个向量 $\alpha_1,...,\alpha_s(s≥1)$ ：

如果有 $K$ 中不全为0的数 $k_1,....,k_s$ 使得 $k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s=\vec{0}$ ，那么就称向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性相关。

如果从 $k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s=\vec{0}$ 可以推出 $k_1=...=k_s=0$ ，那么向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s(s≥1)$ 称为线性无关

定理1：线性相关与无关和线性方程组的解

$K^s$ 中，列向量组 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 线性相关

$\Longleftrightarrow$ 有 $K$ 个不全为0的数 $c_1,...,c_n$ 使得 $c_1\alpha_1+...+c_n\alpha_n=\vec{0}$

$\Longleftrightarrow$ K上n元齐次线性方程组 $x_1\alpha_1+...+x_n\alpha_n=\vec{0}$ 有非零解

从而 $K^s$ 中，列向量组 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 线性无关

$\Longleftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1\alpha_1+...+x_n\alpha_n=\vec{0}$ 只有零解

从而得出结论： $K^n$ 中，列向量组 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 线性相关(线性无关) $\Longleftrightarrow$ 以 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 为列向量组的矩阵 $A$ 行列式等于0(不等于0)。行向量组一样。

注意： $K^n$ 是数域K上的n维向量，而 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 这个向量组的向量个数是n，所以会矩阵A是n×n的数表。

线性相关与线性无关的性质

设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间

性质1：

$\alpha$ 线性相关 $\Longleftrightarrow$ 有 $k≠0$ ，使得 $k\alpha=\vec{0}$ $\Longleftrightarrow \alpha=\vec{0}$

$\alpha$ 线性无关 $\Longleftrightarrow \alpha≠0$

性质2：

向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 如果有一个部分组（一部分向量组成的向量组）线性相关，那么 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性相关。

从而向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 如果线性无关，那么 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 的任何一个部分组都线性无关。

性质3：

含有 $\vec{0}$ 的任何一个向量组都线性相关

性质4：

向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性相关 $\Longleftrightarrow$ 其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。

从而向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性无关$$\Longleftrightarrow$$其中每一个向量都不能由其余向量线性表出

命题1：线性无关的向量组特殊性质一

设 $\beta$ 可以由向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性表出，则表出方式唯一。 $\Longleftrightarrow$ $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性无关。

命题2：线性无关的向量组特殊性质二

设 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 线性无关，如果 $\alpha_1,...,\alpha_s,\beta$ 线性相关，那么 $\beta$ 可以由 $\alpha_1,....,\alpha_s$ 线性表出

定义1：极大线性无关组

向量组 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 的一个部分组（包括全部）如果满足如下条件，那么称为这个部分组是向量组的一个极大线性无关组：

这个部分组线性无关

从向量组的其余向量（如果有的话）中任取一个添进来，得到新的部分组都线性相关。