参考资料

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关于抽象代数

  • 抽象代数算是距离现在年代比较近产生的数学理论，并且在数学和计算机以及密码学这块是非常重要的。所以学好抽象代数很重要。

  • 学习抽象代数，其最核心的定理是Galois大定理：一个特征为0的域F上的n次方程在F上根式可解当前仅当它在F上的Galois群是可解群。

  • 从核心定理其实就可以知道抽象代数围绕的问题是n次方程根式可解这一问题。

  • 学习抽象代数的很多内容其实都是在为Galois大定理的理解和证明做铺垫，在理解Galois大定理的时候就需要理解如下的知识，并且在证明它的时候需要用到很多定理，这些知识和定理其实就占了抽象代数的一大半：

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对于理解该大定理首先要理解：域、域的特征、Galois群、可解群、根式可解。而需要理解这些还需要一定的前置知识
域 
域的特征
Galois群	--> 群 --> 自同构
可解群--> 正规子群 
根式可解--> 根式扩张 --> 域扩张

抽象代数极简史

  • 前期：1760年之前
    • 小于等于四次方程的解法，从2、3、4次方程都有求根公式，这样就产生了一个问题，5次及以上的方程是否也有求根公式
    • 根于系数的关系，韦达定理，一般方程的根与系数关系是有Girard证明
    • 利莫佛公式与n次单位根
    • 代数学基本定理，Girard证明了根的存在定理。即：复数域上任何一个非0次多项式，一定有根并且根都在复数域中，并且在数重数的意义下根的个数与次数相同。
  • 中期：1760~1798年之间
    • Bézout：用n次单位根表示n次方程的根
    • Lagnage(拉格朗日)：考察了小于等于4的各种解法，总结了这些解法的特点；考察这些解法为什么会产生根，从而提出了造根原理。
    • Vander monde(范德蒙)：把根表示成根的对称表达式$x_{1,2}=\frac{1}{2}[(x_1+x_2)\pm\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}]$，对根的置换也进行了大量的计算，根重要的是范德蒙求出了11次单位根的根式表达式。
    • Gauss(高斯)：建立了分圆理论，证明了一般的n次单位根的根式表示
  • 后期：1799~1829年
    • Ruffini：第一次证明了大于等于5次一般方程没有求根公式，但是该证明存在漏洞，并且该证明有500多页。
    • Abel(阿贝尔)：独立与Ruffini第一个完整证明大于等于5次的一般方程没有求根公式(1824年)；
    • Abel：当特征为0的域F上的多项式是Galois群是交换群时这个方程一定可以根式解。
  • 产生：1830~1832年
    • Galois：提出了Galois大定理。

抽象代数简史

  • 抽象代数的简史分为前期、中期、后期以及产生。先来了解一下抽象代数的历史会更有助于理解和学习抽象代数。

前期

求根公式

小于等于4次方程的原始解法。

  • 一次$ax+b=0,a≠0$，除首项系数：$x+\frac{b}{a}=0$，移项得到：$x=-\frac{b}{a}$

  • 二次$ax^2+bx+c=0,a≠0$：

    • 除首项系数：$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
    • 配方：$(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$
    • 移项：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
    • 开方：$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  • 三次$ax^3+bx^2+cx+d=0,a≠0$，Girard等解法：

    • 同样是除首项系数，那其实就直接设a=1，即方程$x^3+bx^2+cx+d=0$
    • 变换$x=y-\frac{b}{3}$：带入可以消二次项系数，即$y^3+py+q=0$
    • 增加变量令y=u+v代入：$u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0$部分因式分解可得$u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)+q=0$
    • 令$3uv+p=0$，从而化简方程：$u^3+v^3+q=0$，这样利用$3uv+p=0$可以解出$v=-\frac{p}{3u}$，带入方程可以得到$u^3+(-\frac{p}{3u})^3+q=0$，化简得$u^6+qu^3-(\frac{p}{3})^3=0$是关于$u^3$的一个二次方程
    • 利用求根公式可以得到$u^3=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}$
    • 从而可以得到$x=u+v-\frac{b}{3},(a=1)$

  • 四次方程，Ferrari解法$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$

    • 用变换$x=y-\frac{a}{4}$消三次项系数得到$y^4+py^2+qy+r=0$
    • 配方：$(y^2+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-qy-r$
    • 增加变量，在配方左边的式子增加变量：$(y^2+\frac{p}{2}+u)=\frac{p^2}{4}-qy-r+u^2+2uy^2+pu$
    • 增加了变量，有了自由度，选取一个u将右边凑平方，右边通过将y作为主元，得到y的二次方程令$\Delta=q^2-8u(\frac{p^2}{4}-r+u^2+pu)=0$得到关于u的3次方程，由于三次方程已经有求根公式，这样可以根式解出u
    • 从而第三步所得方程就可以变成$(y^2+\frac{p}{2}+u)^2=2u(y^2-\frac{q}{2u}y+(\frac{q}{4u})^2)$，从而可以得到$y^2+\frac{p}{2}+u=\pm\sqrt{2u}(y-\frac{q}{4u})$
    • 转化为关于y的的二次方程，可以根式解出y

小于等于4次方程的其他解法（都考虑首项系数为1）

  • Viete(韦达)的三次方程解法：$x^3+px+q=0$：

    • 令$x=\frac{p}{3y}-y$，带入可以得到$y^6-qy^3-(\frac{p}{3})^3=0$
    • 解出$y^3=\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}$

  • Descarte(笛卡尔)的四次方程解法：$x^4+px^2+qx+r=0$

    • 分解：$x^4+px^2+qx+r=(x^2+kx+u)(x^2-kx+v)$
    • 这样直接乘开得到$x^4+px^2+qx+r=x^4+(u+v-k^2)x^2+k(u-v)x+uv=0$
    • 这样直接用待定系数法：$p=u+v-k^2$，$q=k(u-v)$，$r=uv$，联立解得$u=\frac{1}{2}(k^2+p-\frac{q}{k})$，$v=\frac{1}{2}(k^2+p+\frac{q}{k})$

  • Tschirnhaus(契恩豪斯解法)解一般的n次方程：$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0=0$

    • 令$y=x^{n-1}+b_nx^{n-2}+…+b_1x+b_0$，这样就可以消掉x得到关于y的一个n次方程：$y^n+c_{n-1}y^{n-1}+…+c_1y+c_0=0$
    • 取非常好的$b_i$使得$c_{n-1}=…=c_1=0$，从而$y^n+c_0=0$于是$y=-\sqrt[n]{c_0}$，契恩豪斯断言其解法对一般的n成立，其只测试了n=3
    • 事实上n-1个方程能决定n-1个变量，但由Bézout的消去理论，一般要解一个(n-1)!次的方程

棣莫弗公式

  • e Moivre公式与n次单位根：$(cos\theta+isin\theta)^n=cos(n\theta)+isin(n\theta)$，即欧拉公式$(e^{i\theta})^n=e^{i(n\theta)}$

  • 利用棣莫弗公式就可以解方程：$z^n=1=cos\theta+isin\theta$，可以得到$\theta=\frac{2k\pi}{n},\omega_k=cos(\frac{2k}{n})+isin(\frac{2k\pi}{n}),k=0,1,…n-1$，这里称$z^n-1=0$的解为n次单位根

  • n次单位根的根式表示：使用棣莫弗公式就可以将n次单位根的根式表示化为n是素数时，$z^n-1=\Pi^{n-1}_{k=0}(z-w_k)$

  • 根与系数的关系，并且衍生出对称多项式：

    • Viete(韦达)：强调方程的结构即根与系数的关系，并且证明了二次、三次方程的根与系数的关系
    • Girard(吉拉德)：证明了n次方程的根与系数的关系$z^n+a_1z^{n-1}+…+a_{n-1}z+a_0=0$的n个根满足

    $$
    s1 = x_1+x_2+…+x_n=-a_1\
    s2 = x_1x_2+x_1x_3+…+x_{n-1}x_n=a_2\
    …\
    s_n = x_1x_2…x_n = (-1)^{n}a_n
    $$

    • Girard开始研究对称多项式，三元对称多项式$x^2_1+x^2_2+x^2_3$，之后又有牛顿等人，设$s1、s_2、…、s_n$的为$x_1、x_2、…、x_n$的初等对称多项式
    • Vander monde(范德蒙)证明了对称多项式定理，一个域F上关于n个不定元$x_1、x_2、…、x_n$的多项式f可以表示成$s_1、s_2、…、s_n$的多项式当前仅当f关于$x_1、x_2、…、x_n$的置换不变。即$f(x_1,x_2,x_3)=f(x_2,x_1,x_3)$

代数学基本定理

  • Girard根的存在定理：域F上的一个n次多项式(n≥1)的多项式p(x)在F的某个扩域K上可以分解成$p(x)=a(x-a_1)…(x-a_n),a,a_1,…a_n\in K$

  • 代数学基本定理：复数域C是代数封闭的，即C上的任何非0多项式的根均在C中，而且在计重数的意义下方程的根的个数等于方程的次数。

    • 该定理的第一个证明是由d'Alembert给出的，但是他没有证明根的个数等于方程的次数，第一个完整的证明是Gaauss给出的
    • 欧拉尝试代数的证明，而Fonceneux进行改进，最后拉格朗日给出第一个严格的证明

中期

四个具有代表性的人的工作。

Bezout

  • Bezout用n次单位根表几次方程的根。

    • 消去方程的中间变量y，可以得到关于x的一个n次方程$R_n(x)=0$，且$R_n(x)$的系数可以用$a_0,…,a_{n-1}$表示出来。：
      $$
      \begin{equation}
      \begin{cases}
      x = a_0 + a_1y + … +a_{n-1}y^{n-1} \
      y^n = 1
      \end{cases}
      \end{equation}
      $$

    • $R_n(x)=0$的根，当$y=\omega_k$是一个n次单位根时，有$w_k=e^{\frac{2k\pi i}{n}}$，能找到$x_k = a_0+a_1w_k+…+a_{n-1}w_k^{n-1}$是$R_n(x)=0$的根。得到$R_n(x)=\Pi^{n-1}_{k=0}(x-x_k)$

    • 解n次方程$P(x)=0$：找合适的$a_0,a_1,…,a_{n-1}$，使得$R_n(x)=P(x)$，从而$P(x)$的根为$x_1,…,x_n$，其中$x_n=a_0+a_1\omega_k+…+a_{n-1}\omega_k^{n-1}$

    • 注意：Bezout只证明了n=2,3,4的情况

Lagrange

  • Lagrange划时代的工作：

    1. 回顾总结了前面$n≤4$次方程的解法。共同点：通过一个巧妙的变换化为一个地刺的辅助方程

    2. 探求这些解法产生根的机制，本质上要把辅助方程的根表为原方程的根的有理函数，还发现了造根原理，相对的造根原理。

    3. 提出了Lagrange预解式。

  • Lagrange的深思：

    1. 在造根原理的促进下，发现了群论和Galois理论的早期结果。
    2. 研究Lagrange预解式的性质并设计了用来根式解方程的方案。
    3. 一般的n≥5次方程可能没有求根公式。

Vander monde

  • 把根用根的对称函数表示比如：二次方程：$x_{1,2}=\frac{1}{2}[(x+n)\pm\sqrt(x_1+x_2)^{2}-4x_1x_2]$

  • 设计方案如下：

    • 找到一个根的函数是我们一般意义上的根。（已经证明了）
    • 根的函数关于根的置换是对称的。（只证明了n=2,3,4）
    • 带入根的和，以及两两乘积的和（方程的系数）根的函数就是方程的根。

  • 对根的置换进行了大量的计算。

  • 提出了Vander monde预解式。

  • 11次单位根用根式表示

  • 为了解一个方程的结构，只需考察那些保持根的关系的置换

Gauss

Gauss主要是分圆理论。

  • n次单位根的根式表示：在Vander monde的基础上引入了循环置换，以及根之间的关系
  • 正n边形的尺规作图问题：正n边形可以用尺规作出来当且仅当n的素因子只能是2或者Fermat素数。注：形为$2^m+1$数如果是素数，那么则称该素数为Fermat素数。
  • 高斯的这一套理论适用预其他的超越函数类。

后期与产生