引入：在小学的时候已经学习了分数，并且我们知道$\frac{6}{7}$是真分数，$\frac{10}{7}$是假分数，$1\frac{3}{7}$是带分数，而$\frac{\frac{5}{11}}{\frac{3}{2}}$是繁分数。而将这些组合起来构成一个新的分数，这种分数被称为连分数。形式如下，但是研究的时候只研究$b_1=b_2=…=b_n=1$这一情况：
$$
a_1+\frac{b_1}{a_2+\frac{b_2}{a_3+\frac{b_3}{a_4+…}}}
$$

连分数的基本性质

定义1：（连分数）

形如如下形式的分数就被称为连分数，但是这种写法比较繁琐，所以就使用$[a_1,a_2,…,a_n]$来表示如下形式的连分数，由于$b_1=b_2=…=b_n=1$因此不用关注$b$
$$
a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_n}}}}
$$
例子：将$\frac{29}{67}$转换为连分数的形式。

首先将$\frac{29}{67}$取倒数$0+\frac{1}{\frac{67}{29}}$，此时就是一个假分数，将假分数转换为带分数$0+\frac{1}{2\frac{9}{29}}$。

此时将这个倒数后的带分数，给个加号就变成$0+\frac{1}{2+\frac{9}{29}}$

之后继续上面两步的操作$0+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{9}}}$

继续前两步的操作，直到分子分子都是1，得到$0+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{2}}}}$

最后使用符号表示$[0,2,3,4,2]$

注解：连分数为什么会与初等数论有关系呢？由上面的例子发现，在求连分数的时候会发现，我们一直都是在做带余除法，并且是辗转相除法。此时发现，使用符号表示连分数刚好使用的是辗转相除法得到的商表示的。
$$
29=\mathbf{0}*67+29\
67=\mathbf{2}*29+9\
29=\mathbf{3}*9+2\
9=\mathbf{4}*2+1\
2=\mathbf{2}*1+0
$$

定义2：

$[a_1,a_2,…,a_k]=\frac{p_k}{q_k}$叫做$a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_n}}}}$的第k个渐进连分数。

注解1：渐进连分数其实就是在研究连分数的一部分，比如$[a_1]$是上式第一个渐进连分数其为$a_1$；$[a_1,a_2]$是上式第二个渐进连分数其为$a_1+\frac{1}{a_2}$；第$k$个渐进连分数以此类推。

注解2：$\frac{p_k}{q_k}$是关于$a_1,a_2,…,a_k$的函数，且与$a_{k+1},a_{k+2},…,a_n$无关。并且可以得到$\frac{p_1}{q_1}=\frac{a_1}{1}$，$\frac{p_2}{q_2}=a_1+\frac{1}{a_2}=\frac{a_1a_2+1}{a_2}$，$\frac{p_3}{q_3}=a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}=\frac{a_3(a_2a_1+1)+a_1}{a_3a_2+1}$

定理1：

若连分数$[a_1,a_2,…,a_n]$的渐进分数是$\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},…,\frac{p_n}{q_n}$则在这些渐进连分数之间满足递推关系：
$$
\begin{array}{l}
p_1=a_1,~~~p_2=a_2a_1+1,~~~p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}\
q_1=1,~~~~~q_2=a_1,~~~~~~~~~~~~~~~q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}
\end{array}
$$
注解：这里默认连分数存在，如果$a_2=0$，则会出现$\frac{p_2}{q_2}$不存在，

定理2：

若连分数$[a_1,a_2,…,a_n]$的n个渐近连分数是$\frac{p_k}{q_k},k=1,2,…,n$则下列两关系成立：
$$
p_kq_{k-1}-p_{k-1}q_{k}=(-1)^{k},k≥2\
p_kq_{k-2}-p_{k-2}q_k=(-1)^{k-1}a_k,~k≥3
$$

定义3：（简单连分数、有限简单连分数，无限简单连分数，连分数的值）

若$a_1$是整数，$a_2,a_3,…,a_k,…$是正整数，则连分数$[a_1,a_2,…,a_k,…]$叫做简单连分数。

若简单连分数中$a$的个数有限，则被叫做有限简单连分数。

若简单连分数中$a$的个数无限，则被叫做无限简单连分数

对于无限简单连分数，仍然规定$\frac{p_k}{q_k}=a_1,a_2,…,a_k$是它的渐近分数，又如当$k\rightarrow \infty$时$\frac{p_k}{q_k}$有一个极限，我们就把这一极限叫做连分数的值

定理3：

设$[a_1,a_2,…,a_n,…]$是(有限或无限的)简单连分数，$\frac{p_k}{q_k}(k=1,2,…)$是它的渐近分数，则：

当$k≥3$时，$q_k≥q_{k-1}+1$，因而对任何$k$来说，$q_k≥k-1$；

$\frac{p_{2(k-1)}}{q_{2(k-1)}}>\frac{p_{2k}}{q_{2k}}$，$\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}>\frac{p_{2k-3}}{q_{2k-3}}$，$\frac{p_{2k}}{q_{2k}}＞\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}$；

$\frac{p_k}{q_k}(k=1,2,…)$都是既约分数。

定理4：

每一简单连分数表示一个实数