引入：在小学的时候已经学习了分数，并且我们知道 $\frac{6}{7}$ 是真分数， $\frac{10}{7}$ 是假分数， $1\frac{3}{7}$ 是带分数，而 $\frac{\frac{5}{11}}{\frac{3}{2}}$ 是繁分数。而将这些组合起来构成一个新的分数，这种分数被称为连分数。形式如下，但是研究的时候只研究 $b_1=b_2=....=b_n=1$ 这一情况：

a_1+\frac{b_1}{a_2+\frac{b_2}{a_3+\frac{b_3}{a_4+...}}}

连分数的基本性质

定义1：（连分数）

形如如下形式的分数就被称为连分数，但是这种写法比较繁琐，所以就使用 $[a_1,a_2,...,a_n]$ 来表示如下形式的连分数，由于 $b_1=b_2=...=b_n=1$ 因此不用关注 $b$
$a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_n}}}}$
例子：将 $\frac{29}{67}$ 转换为连分数的形式。

首先将 $\frac{29}{67}$ 取倒数 $0+\frac{1}{\frac{67}{29}}$ ，此时就是一个假分数，将假分数转换为带分数 $0+\frac{1}{2\frac{9}{29}}$ 。

此时将这个倒数后的带分数，给个加号就变成 $0+\frac{1}{2+\frac{9}{29}}$

之后继续上面两步的操作 $0+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{9}}}$

继续前两步的操作，直到分子分子都是1，得到 $0+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{2}}}}$

最后使用符号表示 $[0,2,3,4,2]$

注解：连分数为什么会与初等数论有关系呢？由上面的例子发现，在求连分数的时候会发现，我们一直都是在做带余除法，并且是辗转相除法。此时发现，使用符号表示连分数刚好使用的是辗转相除法得到的商表示的。
$29=\mathbf{0}*67+29\\ 67=\mathbf{2}*29+9\\ 29=\mathbf{3}*9+2\\ 9=\mathbf{4}*2+1\\ 2=\mathbf{2}*1+0$

定义2：

$[a_1,a_2,...,a_k]=\frac{p_k}{q_k}$ 叫做 $a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_n}}}}$ 的第k个渐进连分数。

注解1：渐进连分数其实就是在研究连分数的一部分，比如 $[a_1]$ 是上式第一个渐进连分数其为 $a_1$ ； $[a_1,a_2]$ 是上式第二个渐进连分数其为 $a_1+\frac{1}{a_2}$ ；第 $k$ 个渐进连分数以此类推。

注解2： $\frac{p_k}{q_k}$ 是关于 $a_1,a_2,...,a_k$ 的函数，且与 $a_{k+1},a_{k+2},...,a_n$ 无关。并且可以得到 $\frac{p_1}{q_1}=\frac{a_1}{1}$ ， $\frac{p_2}{q_2}=a_1+\frac{1}{a_2}=\frac{a_1a_2+1}{a_2}$ ， $\frac{p_3}{q_3}=a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}=\frac{a_3(a_2a_1+1)+a_1}{a_3a_2+1}$

定理1：

若连分数 $[a_1,a_2,...,a_n]$ 的渐进分数是 $\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},...,\frac{p_n}{q_n}$ 则在这些渐进连分数之间满足递推关系：
$\begin{array}{l} p_1=a_1,~~~p_2=a_2a_1+1,~~~p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}\\ q_1=1,~~~~~q_2=a_1,~~~~~~~~~~~~~~~q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2} \end{array}$
注解：这里默认连分数存在，如果 $a_2=0$ ，则会出现 $\frac{p_2}{q_2}$ 不存在，

定理2：

若连分数 $[a_1,a_2,...,a_n]$ 的n个渐近连分数是 $\frac{p_k}{q_k},k=1,2,...,n$ 则下列两关系成立：
$p_kq_{k-1}-p_{k-1}q_{k}=(-1)^{k},k≥2\\ p_kq_{k-2}-p_{k-2}q_k=(-1)^{k-1}a_k,~k≥3$

定义3：（简单连分数、有限简单连分数，无限简单连分数，连分数的值）

若 $a_1$ 是整数， $a_2,a_3,...,a_k,...$ 是正整数，则连分数 $[a_1,a_2,...,a_k,....]$ 叫做简单连分数。

若简单连分数中 $a$ 的个数有限，则被叫做有限简单连分数。

若简单连分数中 $a$ 的个数无限，则被叫做无限简单连分数

对于无限简单连分数，仍然规定 $\frac{p_k}{q_k}=[a_1,a_2,...,a_k](k=1,2,...)$ 是它的渐近分数，又如当 $k\rightarrow \infty$ 时 $\frac{p_k}{q_k}$ 有一个极限，我们就把这一极限叫做连分数的值

定理3：

设 $[a_1,a_2,...,a_n,...]$ 是(有限或无限的)简单连分数， $\frac{p_k}{q_k}(k=1,2,...)$ 是它的渐近分数，则：

当 $k≥3$ 时， $q_k≥q_{k-1}+1$ ，因而对任何 $k$ 来说， $q_k≥k-1$ ；

$\frac{p_{2(k-1)}}{q_{2(k-1)}}>\frac{p_{2k}}{q_{2k}}$ ， $\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}>\frac{p_{2k-3}}{q_{2k-3}}$ ， $\frac{p_{2k}}{q_{2k}}＞\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}$ ；

$\frac{p_k}{q_k}(k=1,2,...)$ 都是既约分数。

定理4：

每一简单连分数表示一个实数