现在研究一下解一元高次方程的问题。解一元高次方程最核心的方法就是多项式的因式分解。所以这就需要研究多项式。

一元多项式

定义1：一元多项式的定义

设KK是一个数域，xx是一个符号，形如下述的表达式，其中n∈N,an,...,a0∈Kn\in \N,a_n,...,a_0\in K称为他们的系数

anxn+...+aixi+...+a1x+a0a_nx^{n}+...+a_ix^{i}+...+a_1x+a_0

如果满足：两个这种形式的表达式相等当且仅当它们含有完全相同的项(除去系数为0的项以外)，那么就称这种表达式是数域KK上的一个一元多项式，x称为不定元

注解1：零多项式：系数全为0的一元多项式称为零多项式，记作0

注解2：一元多项式通常记作f(x)=anxn+...+aixi+...+a1x+a0f(x)=a_nx^{n}+...+a_ix^{i}+...+a_1x+a_0，其中aixia_ix^{i}被称为i次项；a0a_0被称为0次项或者常数项；anxna_nx^{n}如果an≠0a_n≠0那么该项就被称为首项

注解3：n称为f(x)f(x)的次数，记作deg f(x)deg~f(x)，deg的英文全称为degree

注解4：0次多项式形如b，其中b∈K∗b\in K^{*}，即b≠0b≠0

注解5：0多项式与0次多项式要区分开来，0多项式所有系数都为零，而0次多项式常数项不为0。为了区分开来0多项式记作：deg 0=−∞deg~0=-\infty，且规定①−∞<n,②−∞+n,∀n∈N①-\infty <n,②-\infty+n,\forall n\in N，③(−∞)+(−∞)=−∞③(-\infty)+(-\infty)=-\infty

定义2：多项式的加法

规定多项式加法运算：有两个多项式，设n≥mn≥m

∑i=0naixi+∑i=0mbixi:=∑i=0n(ai+bi)xi\sum_{i=0}^{n}a_ix^{i}+\sum_{i=0}^{m}b_ix^{i}:=\sum^{n}_{i=0}(a_i+b_i)x^{i}

定义3：多项式乘法

规定多项式乘法运算：

(∑i=0naixi)(∑j=0mbjxj):=∑i=0n∑j=0maibjxi+j=∑s=0n+m(∑i+j=0aibj)xs(\sum^{n}_{i=0}a_ix^{i})(\sum_{j=0}^{m}b_jx^{j}):=\sum^{n}_{i=0}\sum^{m}_{j=0}a_ib_jx^{i+j}=\sum^{n+m}_{s=0}({\sum_{i+j=0}a_ib_j})x^{s}

根据多项式乘法的定义就有数量乘法的定义：

k(∑i=0naixi)=∑i=0n(kai)xik(\sum^{n}_{i=0}a_ix^{i})=\sum^{n}_{i=0}(ka_i)x^{i}

容易验证：K[x]K[x]对于加法和数量乘法成为数域KK上的一个线性空间