线性映射的定义和性质

  • 先讨论线性映射

定义1：

设VV和V′V'都是域FF上的线性空间，VV到V′V'的一个映射A‾\underline{A}如果满足如下，那么我们称A‾\underline{A}是VV到V′V'的一个线性映射：

  1. A‾(α+β)=A‾(α)+A‾(B),∀α,β∈V\underline{A}(\alpha+\beta)=\underline{A}(\alpha)+\underline{A}(B),\forall \alpha,\beta \in V（A‾\underline{A}保持加法）
  2. $\underline{A}(k\alpha)=k\underline{A}(\alpha),\forall \alpha\in V,\forall k \in F （（\underline{A}$保持纯量乘法）

注解1：VV到自身的线性映射被称为VV上的线性变换

注解2：任给k∈F,K‾(α):=kα,∀α∈Vk\in F,\underline{K}(\alpha):=k\alpha,\forall \alpha \in V，则K‾\underline{K}是VV上的线性变换称K‾\underline{K}是VV上的数乘变换

注解3：零变换是特殊的数乘变换0‾(α)=0,∀α∈V\underline{0}(\alpha)=0,\forall \alpha \in V

注解4：恒等变换也是特殊的数称变换1‾(α)=α,∀α∈V\underline{1}(\alpha)=\alpha,\forall \alpha \in V，记作I‾\underline{I}

性质1：

设A‾:V→V′\underline{A}:V\rightarrow V'是线性映射，则满足如下几条性质：

  1. A‾(0)=0′\underline{A}(0)=0'
  2. A‾(−α)=−A‾(α)\underline{A}(-\alpha)=-\underline{A}(\alpha)
  3. A‾(k1α1+...+ksαs)=k1A‾(α1)+...+ksA‾(αs)\underline{A}(k_1\alpha_1+...+k_s\alpha_s)=k_1\underline{A}(\alpha_1)+...+k_s\underline{A}(\alpha_s)
  4. α1,...,αs\alpha_1,...,\alpha_s在VV中线性相关⇒A‾(α1),....,A‾(αs)\Rightarrow \underline{A}(\alpha_1),....,\underline{A}(\alpha_s)在V′V'中线性相关。
  5. 设dim(V)=ndim(V)=n，VV中取一个基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n任取α∈V\alpha \in V，并设α=a1α1+...+anαn\alpha= a_1\alpha_1+...+a_n\alpha_n，则A‾(α)=a1A‾(α1)+...+anA‾(αn)\underline{A}(\alpha)=a_1\underline{A}(\alpha_1)+...+a_n\underline{A}(\alpha_n)，从而A‾\underline{A}被它在VV中的一个基上的作用所决定，即若VV到V′V'的一个线性映射B‾\underline{B}满足B‾(αn)=A‾(αn)\underline{B}(\alpha_n)=\underline{A}(\alpha_n)，则B‾=A‾\underline{B}=\underline{A}
  6. A‾\underline{A}是VV到V′V'的一个同构映射⇔A‾\Leftrightarrow \underline{A}是VV到V′V'的可逆的线性映射。

定理1：

设VV和V′V'都是域FF上的线性空间，且dim(V)=ndim(V)=n，VV中取一个基α1,...,αn\alpha_1,...,\alpha_n，而V′V'中任取nn个向量γ1,..,γn\gamma_1,..,\gamma_n（可以有相同）

令A‾:V→V′\underline{A}:V\rightarrow V'，α=∑i=1naiαi→∑i=1nairi\alpha=\sum^{n}_{i=1}a_i\alpha_i \rightarrow \sum^{n}_{i=1}a_ir_i，则A‾\underline{A}是V→V′V\rightarrow V'的一个线性映射

  • 接着讨论VV与V′V'中所有线性映射构成的集合。

定义2：

设VV和V′V'都是域FF上的线性空间，规定Hom(V,V′):={V到V′的线性映射},Hom(V,V):={V上的线性变换}Hom(V,V'):=\{V到V'的线性映射\},Hom(V,V):=\{V上的线性变换\}。

在Hom(V,V′)Hom(V,V')：

  1. 规定加法：(A‾+B‾)α=A‾α+B‾α,∀α∈V(\underline{A}+\underline{B})\alpha=\underline{A}\alpha + \underline{B}\alpha,\forall \alpha \in V
  2. 规定纯量乘法：(kA‾)α:=k(A‾α),∀∈V(k\underline{A})\alpha :=k(\underline{A}\alpha),\forall \in V

很容易证明得到Hom(V,V′)Hom(V,V')保持加法，保持纯量乘法，因此可以得到Hom(V,V′)Hom(V,V')成为域FF上的线性空间。

注解1：零元是零映射：0‾α=0′,∀α∈V\underline{0}\alpha = 0',\forall \alpha \in V

注解2：A‾\underline{A}的负元(−A‾)α=−A‾α,∀α∈V(-\underline{A})\alpha = -\underline{A}\alpha,\forall \alpha \in V