• 群只是在一个集合中定义了一种代数运算，而环是群的进一步深入，在一个集合中定义了两种代数运算。

环的介绍

  • 模m剩余类环，环的运算、整数环、零因子、无零因子环、平凡子环

环的定义

  • 这里来介绍一下环的定义

环的定义：

注意：这里乘法关于加法的左分配律成立，并不能推出右分配律成立，所以分配率要满足左右分配律都成立、

交换环的定义：在满足环的定义上，乘法还满足交换律就被称为交换环

环的性质

零因子环和环的分类

  • 这里先介绍零因子环，然后从而导出环的分类

零因子环：

整环、除环与域

  • 这里在了解环和交换环的定义后，再来了解整环与除环，最后再初步了解一下域。
  • 这里还有些概念有限除环、有限域、子除环、子域

整环：

除环：

域：域的定义有两种形式

环的同态和理想

  • 环的同态、同构、单同态、满同态、零同态、左理想、右理想、理想、零理想、单位理想、平凡理想、真理想。

  • 生成理想、生成元素、有限生成理想、主理想

  • 环的同态和同构与群的同态和同构稍微有区别。

环的同态：

环的同构：

特别地：

  • 由环的同态与同构，从而引出理想。

理想的定义：

​ 左理想：

​ 右理想：

​ 理想：

商环、素理想和最大理想

  • 商环、自然同态、素理想、极大理想

多项式环

  • 多项式环、多项式剩余类环
  • 带余除法从数扩展到多项式