高等代数-行列式

行列式的引入

• 前面阶梯形矩阵提供了判断方程组的解的办法，但是求出一个矩阵的阶梯形矩阵几乎都已经将方程解出来了，那还要判断方程组的解干嘛。
• 所以为了更容易的得出一个方程组解的情况，这个时候就需要先利用矩阵去研究了。先来研究二元一次方程组，该方程组如下，其中$a_{11}、a_{21}$不全为0,那不妨设$a_{11}\not=0$。

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2\\ \end{cases}$$

• 将它化成增广矩阵后就如下图所示：

$$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&b_2 \end{bmatrix}$$

• ​ 使用初等行变换就转化成了阶梯形矩阵，通分一下，就会出现两种情况：

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ 0&a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}&b_2-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_1 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ 0&\frac{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}{a_11}&b_2-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_1 \end{bmatrix}$$

• 情况1：$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not=0$，此时根据上一章方程组解的情况就可以得到该方程有唯一解：

$$(\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}})$$

• 情况2：$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$，此时原方程组无解或者有无穷多个解。

行列式：

此时对于$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$就使用如下的一个记号，矩阵2级矩阵$\mathbf{A}$的行列式，记作$|A|$或者$det\mathbf{A}$：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

注解：行列式是一个数

命题1：

两个方程的二元一次方程组有唯一解的充分必要条件是：它的系数矩阵$\mathbf{A}$的行列式(简称为系数行列式)$|A|\not=0$，此时它的唯一解是：

$$(\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}})'$$

n元排列

定义1：

1,2,...,n的一个全排列称为一个n元排列（或n个不同正整数的全排列称为一个n元排列），而1,2,...,n形成的n元排列有n!个，例如：3元排列有123,132,213,231,312,321

定义2：

对于一个四元排列2431，从左到右数，顺序（从小到大）的数对有：24、23。从左到右数，逆序（从大到小）的数对有：21,43,41,31。像这样在一个n元排列中逆序的数对的数目称为逆序数，记作$\tau(2431)=4$

定义3：

逆序数是偶数的排列称为偶排列。

逆序数是奇数的排列称为奇排列。

定义4：

将2431的4和1交换位置，使其变成2134的这个操作称为对换，记作$(4,1)$。

定理1：

对换改变n元排列的奇偶性

定理2：

任一n元排列与排列123...n可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n元排列有相同的奇偶性。

n阶行列式

定义1：

n阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n} \\...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$是n!项的代数和，其中每一项是不同行，不同列的n个元素的乘积，每一项按行指标成自然序排好位置，当列指标形成的排列是偶排列时，该项带正号，当列指标形成的排列是奇排列，该项带负号。

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$。行列式其实是右边这个求和表达式的一个简洁记号。

定义2：

n阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n} \\...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$也称为n阶矩阵$\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}$的行列式，记作$|\mathbf{A}|$，$det\mathbf{A}$，简记成$\mathbf{A}=(a_{ij})$其中$a_{ij}$为A的$(i,j)$元

定义3：上三角形行列式

主对角线下方元素全为0的n阶行列式称为上三角形行列式。（下三角形行列式：主对角线上方的元素全为0的n阶行列式）

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1,n-1}&a_{1,n}\\ 0&a_{22}&...&a_{2,n-1}&a_{2,n}\\ 0&0&a_{33}&...&a_{3,n}\\ ...&...&...&...&...\\ 0&0&...&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\ 0&0&...&0&a_{n,n} \end{vmatrix}$$

一些行列式的计算：

一阶行列式：

$|a|=a$

二阶行列式：

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

三阶行列式：

三元排列偶排列：123,231,312

三元排列奇排列：132,213,321

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

上三角形行列式：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1,n-1}&a_{1,n}\\ 0&a_{22}&...&a_{2,n-1}&a_{2,n}\\ 0&0&a_{33}&...&a_{3,n}\\ ...&...&...&...&...\\ 0&0&...&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\ 0&0&...&0&a_{n,n} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$$

命题1：上三角形行列式的值等于它的主对角线上n个元素的乘积。

行列式的性质

定义1：矩阵的转置

设n阶矩阵$\mathbf{A}=(a_{i,j})=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}$把行列互换得到的矩阵$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{n2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{nn}\end{bmatrix}$称为A的转置，记作$A'$或$A^{T}$或$A^{t}$

行列式的性质：

性质1：转置的行列式与原先行列式值相等，即：$|A'|=|A|$

性质2：行列式一行的公因子可以提出去，即（k=0也成立）：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&...&ka_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$$

性质3：

行列式中若某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应各行相同，即：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_1+c_1&b_2+c_2&...&b_n+c_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_1&b_2&...&b_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_1&c_2&...&c_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$$

性质4：

两行互换，行列式反号，即：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix} =- \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$$

性质5：

两行相同，行列式的值为0，即：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}=0$$

性质6：

两行成比例，行列式的值为0，即：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ la_{i1}&la_{i2}&...&la_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}=0$$

性质7：

把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变，即：

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}+la_{i1}&a_{k2}+la_{i2}&...&a_{kn}+la_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$$

行列式按行(列)展开

• 行列式按行（列）展开的本质其实就是对行列式的展开做变形。

$|\mathbf{A}|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=(a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32})+(a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33})+(a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31})$

$|\mathbf{A}|=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$

定义1：

n级矩阵$\mathbf{A}$中，划去第i行和第j列，剩下的元素按照原来的次序组成n-1级矩阵的行列式称为矩阵$\mathbf{A}$的(i,j)元的余子式，记作$M_{ij}$。令$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，则$A_{ij}$是$\mathbf{A}$的(i,j)元的代数余子式。

• 从行列式的按行展开推导出了如下几个定理：

定理1：

n级矩阵$\mathbf{A}$的行列式$|\mathbf{A}|$等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和。$|\mathbf{A}|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$其中$i\in\{1,2,...,n\}$，该式子被称为n阶行列式的第i行的展开式

定理2：

n级矩阵$\mathbf{A}$的行列式$|\mathbf{A}|$等于它的第j列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即：$|\mathbf{A}|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}=\sum_{l=1}^{n}a_{lj}A_{lj}$

定理3：

n级矩阵$\mathbf{A}$的行列式$|\mathbf{A}|$的第i行元素与第k行($k≠i$)相应元素的代数余子式的乘积之和为0，即：$a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+...+a_{in}A_{kn}=0$，当$k≠i$

定理4：

n级矩阵$\mathbf{A}$的行列式$|\mathbf{A}|$的第j列元素与第l列($l≠j$)相应元素的代数余子式的乘积之和为0，即：$a_{1j}A_{1l}+a_{2j}A_{2l}+...+a_{nj}A_{nl}=0$，当$l≠j$

• 特殊的行列式——范德蒙行列式

克拉默(Cramer)法则

定理1：

数域$\mathbf{K}$上的n个方程的n元线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的系数行列式（即系数矩阵$\mathbf{A}$的行列式$|\mathbf{A}|$）不等于0。即n级矩阵的初等行变换不改变它们的行列式的非零性质

推论1：

数域$\mathbf{K}$上的n个方程的n元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是它的系数行列式不等于0，从而它有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于0。

定理2：

记矩阵$\mathbf{B}_j,j=1,2,3...,n$即，$\mathbf{B_j=\begin{bmatrix}a_{11} &...&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&...&a_{1n}\\ a_{21}&...&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&...&a_{2n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&...&a_{n,j-1}&b_n&a_{2,j+1}&...&a_{nn}\end{bmatrix}}$。那么就有n个方程的n元线性方程组的系数

行列式$|\mathbf{A}|≠0$时，它的唯一解是：$(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},...,\frac{|B_n|}{|A|})$

行列式按k行(列)展开

定义1：

n级矩阵$\mathbf{A}$中任意取定k行，k列$1\le k < n$，位于这些行和列的交叉处的$k^2$个元素按原来的排法组成的k级矩阵的行列式称为$\mathbf{A}$的一个k阶子式。取定$\mathbf{A}$的第$i_1,i_2,...,i_k$行（$i_1<i_2<...<i_k$），第$j_1,j_2,...,j_k$列（$j_1<j_2<....<j_k$），所得到的k阶子式记作$\mathbf{A}\begin{bmatrix}i_1,i_2,...,i_k\\ j_1,j_2,...,j_k\end{bmatrix}$。

划去这个k阶子式所在的行和列，剩下的元素原来的排法组成的(n-k)级矩阵的行列式称为余子式，它前面乘以$(-1)^{(i_1+i_2+...+i_k)+(j_1+j_2+...+j_k)}$则称为子式的代数余子式。

令$\{i'_1,i'_2,...,i'_{n-k}\}=\{1,2,...,n\}/\{i_1,i_2,...,i_k\}$，$\{j'_1,j'_2,...,j'_{n-k}\}=\{1,2,3..,n\}/\{i_1,i_2,...,i_k\}$，并且$i_1'<i_2'<...<i'_{n-k},j'_1<j'_2<...<j'_{n-k}$，则子式的余子式为$A\begin{bmatrix}i'_1,i'_2,...,i'_n\\ j'_1,j'_2,...,j'_n\end{bmatrix}$

定理1(Laplace定理，即拉普拉斯定理)：

在n级矩阵$|\mathbf{A}|$中，取定第$i_1,i_2,...,i_k$行（$i_1<i_2<...<i_k$），则这k行元素形成的所有k阶子式与它们自己的代数余子式的乘积之和等于$|\mathbf{A}|$，即$|\mathbf{A}|=\sum_{1\le j_1<j_2<...<j_k\le n}\mathbf{A}\begin{bmatrix}i_1,i_2,...,i_k\\ j_1,j_2,...,j_k\end{bmatrix}(-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}A\begin{bmatrix}i'_1,i'_2,...,i'_n\\ j'_1,j'_2,...,j'_n\end{bmatrix}$